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Isabelle ABOU Professeure Formatrice 1 STATISTIQUE INFERENTIELLE STAGE ACADEMIQUE LA REUNION.

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1 Isabelle ABOU Professeure Formatrice 1 STATISTIQUE INFERENTIELLE STAGE ACADEMIQUE LA REUNION

2 Isabelle ABOU2 OBJECTIFS DU STAGE Poser les bases de la théorie de la statistique inférentielle. En comprendre les enjeux, leur utilité, et leur domaine dintervention pour justifier son introduction dans les programmes. Donner quelques exemples dapplication en classe.

3 Isabelle ABOU3 PLAN DE LEXPOSE 1 ière PARTIE: GÉNÉRALITÉS I. INTRODUCTION II. SITUATIONS PROBLEMES III. LA STATISTIQUE INFERENTIELLE IV. LE PROGRAMME DE SECONDE 2 ième PARTIE: LA THÉORIE I. LOI NORMALE II. THEORIE DE LECHANTILLONNAGE III. PRISE DE DECISION IV. THEORIE DE LESTIMATION V. ESTIMATION DUNE PROPORTION VI. EVALUATION DE TRAVAUX AVEC TIC 3 ième PARTIE: APPROFONDISSEMENT I.TESTS STATISTIQUES II. COMPLEMENTS

4 Isabelle ABOU4 1 ière PARTIE: GÉNÉRALITÉS

5 Isabelle ABOU5 I. INTRODUCTION

6 Isabelle ABOU6 LES METHODES STATISTIQUES Les méthodes statistiques sont utilisées dans presque tous les secteurs. Parmi ses applications, citons - dans le domaine industriel: la fiabilité des matériels, le contrôle de qualité, lanalyse des résultats de mesure et leur planification, la prévision, et - dans le domaine de léconomie et des sciences de lhomme: les modèles économétriques, les sondages, les enquêtes dopinion, les études quantitatives de marché.

7 Isabelle ABOU7 LA DEMARCHE STATISTIQUE Après le recueil de données, la démarche statistique consiste à traiter et interpréter les informations recueillies. Elle comporte deux grands aspects: laspect descriptif ou exploratoire et laspect inférentiel ou décisionnel.

8 Isabelle ABOU8 Statistique descriptiveStatistique mathématique Etude du débit dune rivière pendant 50 ans. Prévisions sur la hauteur des crues pour la construction dun barrage. Etude des caractéristiques de pièces dune chaine de fabrication. Contrôle de qualité. Etudes de données économiques sur les dépenses des ménages. Prévoir lévolution de la vente dun produit.

9 Isabelle ABOU9 LA STATISTIQUE EXPLORATOIRE Son but est de synthétiser, résumer, structurer linformation contenue dans les données. Elle utilise pour cela des représentations de données sous forme de tableaux, de graphiques, dindicateurs numériques. Connue sous le nom de statistique descriptive, elle sest enrichie de techniques de visualisation de données multidimensionnelles, cest lanalyse de données. Son rôle est de mettre en évidence les propriétés de léchantillon et de suggérer des hypothèses. Les principales méthodes : - les méthodes de classification pour réduire la taille de lensemble des individus en formant des groupes homogènes. - les méthodes factorielles qui cherchent à réduire le nombre de variables en les résumant à un petit nombre de composantes, analyse des composantes principales pour les variables numériques, analyse des correspondances pour les variables qualitatives.

10 Isabelle ABOU10 LA STATISTIQUE INFERENTIELLE Son but est détendre les propriétés constatées sur léchantillon à la population tout entière et de valider ou dinfirmer des hypothèses à priori ou formulées après une phase exploratoire. Le calcul des probabilités y joue souvent un rôle fondamental. Quelques exemples: - lestimation dune moyenne, - la vérification dune hypothèse ou test, - la modélisation et la prévision statistique.

11 Isabelle ABOU11 II. SITUATIONS PROBLEMES

12 Isabelle ABOU12 QUELQUES SITUATIONS PROBLEMES Les exemples utilisés dans ce stage sont extraits de: documents ressources - pour la classe de seconde- Probabilités et Statistiques- /Doc_ressource_proba-stats_ pdfhttp://media.education.gouv.fr/file/Programmes/17/9 /Doc_ressource_proba-stats_ pdf documents ressources - pour la voie professionnelle (lycée). grenoble.fr/maths/docresseconde/Proba_stat_LP.dochttp://www.ac- grenoble.fr/maths/docresseconde/Proba_stat_LP.doc - manuels de BTS.

13 Isabelle ABOU13 DEFAUTS DE PEINTURE Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20 % de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 26 % de défauts (13 sur 50). Faut-il sinquiéter ?

14 Isabelle ABOU14 RESPECT DE LA PARITE Deux entreprises A et B recrutent dans un bassin demploi où il y a autant de femmes que dhommes, avec la contrainte du respect de la parité. Dans lentreprise A, il y a 100 employés dont 43 femmes. Dans lentreprise B, il y a 2500 employés dont 1150 femmes. Quelle est lentreprise qui respecte le mieux la parité ?

15 Isabelle ABOU15 TAUX ANORMAL DE LEUCEMIES Une petite ville des États-Unis a connu 9 cas de leucémie chez de jeunes garçons en lespace de 10 années. Doit-on, comme lont alors affirmé les autorités, en accuser le hasard ? Woburn est une petite ville industrielle du Massachusetts, au Nord-Est des États-Unis. Du milieu à la fin des années 1970, la communauté locale sémeut dun grand nombre de leucémies infantiles survenant en particulier chez les garçons dans certains quartiers de la ville. Les familles se lancent alors dans lexploration des causes et constatent la présence de décharges et de friches industrielles ainsi que lexistence de polluants. Dans un premier temps, les experts gouvernementaux concluent quil ny a rien détrange. Mais les familles sobstinent et saisissent leurs propres experts. Une étude statistique montre quil se passe sans doute quelque chose « détrange ».

16 Isabelle ABOU16 TABLEAU DE DONNEES Le tableau suivant résume les données statistiques concernant les garçons de moins de 15 ans, pour la période (Source : Massachusetts Department of Public Health). Population des garçons de moins de 15 ans à Woburn selon le recensement de 1970 : n Nombre de cas de leucémie infantile observés chez les garçons à Woburn entre 1969 et 1979 Fréquence des leucémies aux Etats-Unis (garçons) : p ,000 52

17 Isabelle ABOU17 NAISSANCES Les données statistiques suivantes ont été relevées : en 2000, dans le village de Xicun, en Chine, il est né 20 enfants, parmi lesquels 16 garçons, dans la réserve indienne dAamjiwnaag, située au Canada à proximité dindustries chimiques, il est né entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons. Ces naissances sont-elles le seul fruit du hasard ?

18 Isabelle ABOU18 CONTESTER UN JUGEMENT En Novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida était condamné à huit ans de prison. Il attaqua ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté était discriminante à légard des Américains dorigine mexicaine. Alors que 79,1% de la population de ce comté était dorigine mexicaine, sur les 870 personnes convoqués pour être jurés lors dune certaine période de référence, il ny eut que 339 personnes dorigine mexicaine.

19 Isabelle ABOU19 CONSTESTER UN JUJEMENT (suite) 1. Quelle est la fréquence des jurés dorigine mexicaine observée dans ce comté du Texas ? 2. La simulation sur un tableur du prélèvement déchantillons aléatoires de taille n = 870 dans une population où la fréquence des habitants dorigine mexicaine est p = 0,791. Les fréquences des habitants dorigine mexicaine observées sur 100 échantillons simulés sont représentées ci-dessous.

20 Isabelle ABOU20 a) Calculer les bornes de lintervalle [ p –, p + ]. (Arrondir à 10 – ²). b) Quel est le pourcentage des simulations fournissant une fréquence en dehors de lintervalle précédent ? 3. Sur les simulations, est-il arrivé au hasard de fournir une fréquence dhabitants dorigine mexicaine comparable à celle des jurés dorigine mexicaine observée dans ce comté du Texas ? 4. Comment expliquez-vous cette situation ?

21 Isabelle ABOU21 SONDAGE Un candidat à une élection effectue un sondage dans sa circonscription comportant électeurs : sur 1068 personnes interrogées, 550 déclarent vouloir voter pour ce candidat. Pour gagner les élections au premier tour, un candidat doit obtenir 50% des voix. Le candidat affirme : « si les élections avaient eu lieu le jour du sondage et si les réponses au sondage étaient sincères, alors jaurais été élu au premier tour ». Quen pensez-vous ?

22 Isabelle ABOU22 III. LA STATISTIQUE INFERENTIELLE PROBLEMATIQUE MODELISATION

23 Isabelle ABOU23 STATISTIQUE INFERENTIELLE et ECHANTILLONNAGE PROBLEMATIQUE: Etudier les caractéristiques dune population de grande taille, en vue den prévoir lévolution. Une étude statistique portant sur tous les éléments dune population étant soit impossible à réaliser car la taille de la population est trop grande, ou étant trop onéreuse, il faut obtenir des résultats fiables en se limitant à létude des éléments ou unités dun échantillon.

24 Isabelle ABOU24 OBJECTIF DE LECHANTILLONNAGE: Disposant dobservations sur un échantillon de taille n, on désire en déduire des propriétés de la population dont il est issu. On cherchera par exemple à estimer la moyenne m dune population à partir de la moyenne dun échantillon. Mais, comment déterminer léchantillon de la population que lon va observer?

25 Isabelle ABOU25 PROBLEMES LIES A LECHANTILLONNAGE Cet échantillon doit donner des estimations non biaisées des paramètres mais permettre, de plus, dévaluer la marge derreurs dues aux fluctuations déchantillonnage. Léchantillon doit être représentatif de la population: il en résulte que chaque unité doit avoir une probabilité non nulle dêtre tirée, un tel échantillon est qualifié daléatoire.

26 Isabelle ABOU26 ECHANTILLON REPRESENTATIF Il faut que léchantillon ait été tiré selon des règles destinées à en assurer la représentativité. Le mode de tirage le plus simple et le plus important est léchantillonnage aléatoire simple correspondant à des tirages équiprobables et indépendants les uns des autres. Dans ces conditions, les observations deviennent des variables aléatoires, il convient donc den chercher les lois de probabilité avant de tenter dextrapoler à la population.

27 Isabelle ABOU27 EN CONCLUSION Toute démarche statistique consiste à: - prélever un échantillon représentatif de la population par des techniques appropriées. Les différentes méthodes utilisées relèvent de la théorie de léchantillonnage, - étudier les principales caractéristiques dun échantillon, issu dune population dont on connaît la loi de probabilité, - savoir réaliser des échantillons de variables aléatoires pour vérifier des conclusions en utilisant des techniques de simulation.

28 Isabelle ABOU28 ETUDE SUR UN EXEMPLE On prélève n ampoules électriques dans une production, et on mesure leur durée de fonctionnement. Si les caractéristiques de fabrication dune ampoule à lautre nont pas varié, les différences entre les durées x i peuvent être considérées comme des fluctuations de nature aléatoire. Ceci justifie lhypothèse fondamentale de la théorie de léchantillonnage: les valeurs observées x i sont des réalisations dune même v.a X appelée variable parente (ou mère). Ceci suppose lexistence dune variable aléatoire abstraite, « la durée de vie dune ampoule », de type donné, fabriquée dans des conditions données.

29 Isabelle ABOU29 MODELISATION On introduira le modèle suivant: à chaque individu tiré i, on associe une v.a X i dont on observe une seule réalisation x i. Dans lexemple précédent, X i est la durée de vie de lampoule i, qui une fois lexpérience faite a pris la valeur x i. Lhypothèse précédente revient à dire que les X i sont des v.a ayant toutes la même distribution, celle de X. Pour des raisons de commodité, les X i seront supposées mutuellement indépendantes.

30 Isabelle ABOU30 CADRE THEORIQUE Les valeurs observées (x 1,x 2,…,x n ) sont n réalisations indépendantes dune v.a X mère, ou encore, une réalisation unique du n-uple (X 1,X 2,…,X n ) où les X i sont n v.a indépendantes et de même loi que X. On appellera n-échantillon de la v.a X, le n-uple (X 1,X 2,…,X n ) ainsi défini. La théorie de léchantillonnage se propose détudier les propriétés du n-uple (X 1,X 2,…,X n ), en particulier quand n est élevé. Une statistique T est une v.a, fonction mesurable de X 1,X 2,…,X n : T = f(X 1,X 2,…,X n ).

31 Isabelle ABOU31 IV. LE PROGRAMME DE SECONDE

32 Isabelle ABOU32 OBJECTIFS VISES DANS LECHANTILLONNAGE Faire réfléchir les élèves à la conception et la réalisation dune simulation. Sensibiliser les élèves à la fluctuation déchantillonnage, aux notions dintervalle de fluctuation et dintervalle de confiance, et à lutilisation qui peut en être faite.

33 Isabelle ABOU33 ECHANTILLONNAGE CONTENUSCAPACITES ATTENDUES Notion déchantillon.Concevoir, mettre en œuvre et exploiter des simulations de situations concrètes à laide du tableur ou dune calculatrice Intervalle de fluctuation dune fréquence au seuil de 95%. Utiliser les fonctions logiques dun tableur. Mettre en place des instructions conditionnelles dans un algorithme. Réalisation sune simulationExploiter et faire une analyse critique dun résultat déchantillonnage.

34 Isabelle ABOU34 COMMENTAIRES Lobjectif est damener les élèves à un questionnement lors des activités suivantes: - Lestimation dune proportion inconnue à partir dun échantillon - La prise de décision à partir dun échantillon.

35 Isabelle ABOU35 INTERVALLE DE FLUCTUATION AU SEUIL DE 95% Relatif aux échantillons de taille n, est lintervalle centré autour de p, proportion dun caractère dans la population, où se situe, avec une probabilité égale à 0,95, la fréquence observée dans un échantillon de taille n. Cet intervalle peut être obtenu, de façon approchée par simulation. Le professeur peut indiquer aux élèves le résultat suivant, utilisable dans la pratique pour les échantillons de taille n>=25, et des proportions p du caractère comprise entre 0,2 et 0,8. Si f désigne la fréquence du caractère dans léchantillon, f appartient à lintervalle: avec une probabilité dau moins 0,95. Le professeur peut faire percevoir expérimentalement la validité de cette propriété mais elle nest pas exigible.

36 Isabelle ABOU36 PENDANT LE STAGE Nous allons donner les justifications mathématiques, basées sur la théorie de la statistique inférentielle, qui permettent de justifier la construction de lintervalle de fluctuation. Nous préciserons les approximations qui sont faites dans le programme de seconde. Nous aborderons la théorie de léchantillonnage et ses deux applications principales, dont il faut bien comprendre les hypothèses de départ. 1/ La prise de décision à partir dun échantillon, où lon connaît la proportion dans la population entière. 2/ Lestimation dune proportion inconnue dans la population, à partir dun échantillon.

37 Isabelle ABOU37 A SUIVRE… 2 ième PARTIE LA THÉORIE


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