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Problème Additifs et Soustractifs CP CE1 Animation du 10 novembre 2010…. Circonscription de Roubaix Ouest Adresse du site de présentation de louvrage:

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3 Problème Additifs et Soustractifs CP CE1 Animation du 10 novembre 2010…. Circonscription de Roubaix Ouest Adresse du site de présentation de louvrage: lille.fr/sceren/article.php3?id_article=2101

4 Plan de lanimation 1. Les enjeux des Instructions de 2008 en mathématiques 2. Les intérêts de louvrage. 3. Un constat 3. Quest-ce quun problème additif ou soustractif ? 4. Typologie, classification des problèmes daprès Vergnaud. –Présentation et intérêts à travailler cette typologie. 5. Mise en œuvre dune pédagogie pour lapprentissage de la résolution –Analyse des difficultés –Les axes de médiation

5 Les enjeux des I.O en mathématiques

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7 Construction du nombre, résolution de problèmes, sens des opérations, construction des concepts mathématiques se mènent conjointement (Butlen, Brissiaud, Durpaire) Apprendre à automatiser (Butlen). Organiser la progressivité des apprentissages (I.O, Durpaire).

8 Quest-ce quun problème additif ou soustractif ? Les problèmes qui se résolvent par une addition ou une soustraction relèvent de ce quon appelle « le champ additif ».

9 Les intérêts de louvrage Présenter et analyser les problèmes additifs pour anticiper les obstacles et les difficultés Proposer une démarche centrée sur la progressivité, la différenciation afin dautomatiser la résolution des problèmes additifs.

10 Un constat

11 Types de problème Proportion de réussite sur 100 GSCPCE1CE2 1- X a 3 billes. Y a 5 billes. Combien X et Y ont – ils de billes ensemble ? (5+3) X avait 3 billes. Puis Y lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant X ? (5+3) X avait des billes. Il en a donné 5 à Y. Maintenant X a 3 billes. Combien avait-il de billes ? (5+3) X avait 8 billes. Puis il a donné 3 billes à Y. Combien de billes a maintenant X ? (8-3) 100

12 Types de problème Proportion de réussite sur 100 GSCPCE1CE2 5- X et Y ont ensemble 8 billes. X a 3 billes. Combien Y a-t-il de billes ? (8-3) X avait 3 billes. Y lui en a donné. X a maintenant 8 billes. Combien de billes Y a-t-il données à X ? (8-3) X avait 8 billes. Il en a donné à Y. Maintenant X a 3 billes. Combien de billes X a-t-il données à Y ? (8-3) Suite du tableau…

13 Conclusions A contexte égal (jeu de billes), à mêmes valeurs numériques, tous les problèmes relevant de laddition ne sont pas de même difficulté. Un grand nombre de problèmes relevant dune soustraction sont beaucoup mieux réussis que dautres relevant dune addition. Raison: Une grande diversité de problèmes additifs et soustractifs.

14 QUIZZ Combien existe t-il de types de problèmes additifs ? plus ?

15 Typologie daprès Vergnaud Présentation Réponse au QUIZZ Intérêt à travailler cette typologie

16 Intérêt majeur de la typologie de Vergnaud: Le maître est responsable des problèmes quil choisit pour aider les élèves à construire ses connaissances.

17 4 catégories de problèmes simples Transformation : (ete) Composition détats ou (combinaison): (eee) Comparaison (ece) Composition de transformations (non traitée au cycle 2): (ttt)

18 Dans la terminologie ete eee ou ece, lélément cherché sera toujours indiqué en majuscule. Ex: dans les problèmes et+E, lélément à rechercher (ou linconnue) sera létat final après une transformation positive de létat initial.

19 problèmes du type : état initial – transformation (positive + ou négative -) – état final I– Catégorie : Transformation: (ete)

20 Recherche de létat final après une transformation positive de létat initial :e t+ E Ex: Au début de la récréation, Pierre a 27 billes. Il joue avec Juliette et il en gagne 35. Combien a-t-il de billes à la fin de la récréation. ?

21 Recherche de létat final après une transformation négative de létat initial : e t- E Ex: Ce matin, le boulanger a fabriqué 78 baguettes. Il en a vendu 56 durant la journée. Combien lui en reste-t-il à la fin de la journée ? ?

22 Recherche de la transformation positive connaissant létat initial et létat final : e T+ e Ex: Des enfants jouent aux fléchettes. Chaque enfant doit lancer deux fléchettes. Un enfant lance sa première fléchette et marque 17 points. Puis il lance la deuxième. Son copain lui dit que ça fait 35 points en tout. Combien de points a-t-il marqué avec sa deuxième fléchette ? ?

23 Recherche de la transformation négative connaissant létat initial et létat final : e T- e Ex: Ce matin, Pierre avait 27 billes. En repartant chez lui le soir, il recompte ses billes et il nen a plus que 12. Combien a-t-il perdu de billes aujourdhui ? ?

24 Recherche de létat initial ayant subi une transformation positive : E t+ e Ex: Pendant la récréation, Pierre a gagné 27 billes. En repartant chez lui le soir, il recompte ses billes, il en a 52. Combien en avait-il en arrivant à lécole ce matin ? ?

25 Recherche de létat initial ayant subi une transformation négative : E t- e Ex: Durant sa journée, le boulanger a vendu 43 baguettes et il ne lui en reste plus que 7. Combien avait-il préparé de baguettes avant douvrir son magasin ? ?

26 problèmes du type : partie – partie - tout II – Catégorie : Combinaison détats (eee)

27 Recherche du tout dans le cas dune combinaison détats: e e E ? Ex: Dans la classe de CP, il y a 13 garçons et 17 filles. Combien délèves sont en CP ?

28 Recherche dune partie dans le cas dune combinaison détats: e E e ? Ex: Dans la classe de CP, il y a 26 élèves dont 12 filles. Combien de garçons sont en CP ?

29 III – Catégorie : Comparaison détats : (ece) problèmes du type : état 1 comparant comparaison (positive + ou négative -) état 2 comparé 1 2

30 Recherche dun des états avec une comparaison positive : E c+ e ou e c+ E Ex1: Jean a 27 billes. Il en a 8 de plus quAline. Combien Aline a-t-elle de billes ? Ex2: Pierre a 27 billes. Paul en a 8 de plus que lui. Combien Paul a-t-il de billes ?

31 Recherche dun des états avec une comparaison négative. e c- E ou E c- e Ex1 : Marie a 27 jetons. Luc en a 12 de moins quelle. Combien de jetons Luc a-t-il ? Ex2 : Gilles a des jetons. Jacques en a 12 de moins que lui. Jacques a 27 jetons. Combien Gilles a-t-il de jetons ? -

32 Recherche de la comparaison positive : (e C+ e) Ex: Pierre a 27 billes. Paul en a 34. Combien Paul a-t-il de billes de plus que Pierre? +?

33 Recherche de la comparaison négative (e C- e) Ex: Marie a 34 jetons et Luc en a 27. Combien Luc a-t-il de jetons de moins que Marie ? +?

34 Réponse au QUIZZ Il existe donc 14 types de problèmes additifs ( dont 12 seront vus au CP et CE1): Les 6 problèmes de transformation Les 2 problèmes de combinaison Les 6 problèmes de comparaison Les 9 problèmes de combinaison de transformation (CE2)

35 De quel type de problèmes sagit-il? Il y avait 35 billes dans la boîte. Jen ajoute 27. Combien y en a t-il maintenant ? Dans la boîte il y avait des billes. Jen enlève 6. Il y a maintenant 19 billes. Combien y avait-il de billes dans la boîte ? Le piano de Violette compte 72 touches. 24 sont noires. Combien y a-t-il de touches blanches? e t+ E Recherche de létat final dans le cas dune transformation positive E t- e Recherche de létat initial dans le cas dune transformation négative e E e: Recherche dune partie dans le cas dune combinaison détats

36 Intérêts à travailler cette typologie La connaissance des différentes structures par le maître va lui permettre de mettre en place une progression. Cette connaissance va permettre aux élèves deffectuer des catégories et des comparaisons. Ces catégorisations et comparaisons contribuent à la création du concept mathématique. Le processus didentification de la structure par analogie permet lautomatisation. Lautomatisation permet de libérer de lénergie cognitive qui sera dévolue à des tâches annexes.

37 Récapitulatif: (Programmation proposée) PROGRAMATION SEQUENCES TYPE DE PROBLEME MODULES Trimestre 1 CPSEQUENCE 1 et+ E et-E Trimestre 2 CPSEQUENCE 2 eeE eEe Trimestre 3 CPSEQUENCE 3 eT+e eT-e Trimestre 1 CE1 SEQUENCE 4ec+E ou Ec+e ec-E ou Ec-e Trimestre 2 CE1SEQUENCE 5 eC+e eC-e Trimestre 3 CE1SEQUENCE 6 Et+e Et-e

38 Mise en œuvre dune pédagogie pour lapprentissage de la résolution A partir du dispositif présenté dans louvrage.

39 Analyse des difficultés Évoquer lénoncé, la situation concrète Évoquer une mise en relation avec une situation référente De la compréhension de lénoncé via sa représentation, au traitement de linformation. Opérationnaliser Justifier, valider.

40 Cas dune nouvelle structure: E t+ e

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42 Lévaluation diagnostique

43 Elle permet de situer lélève par rapport à des capacités telles que représenter, évoquer en plus de celles relatives à la mise en opérations de la situation.

44 Il va falloir deviner le nombre de jetons que tu as dans ton enveloppe au départ. Tu as une enveloppe avec des jetons dedans. Tu en remets 14. Maintenant tu ouvres lenveloppe et tu comptes: il y a 39 jetons.

45 Les enjeux de la confrontation La première phase est toujours individuelle. Suivent les phases binôme et groupe. L évocation de la classe de problème (problème de transformation) et du but à atteindre (recherche de létat initial). La comparaison avec les affiches référentes servant à regrouper les problèmes de même « type ».

46 Vers la procédure générique La phase de résolution par procédure spontanée (personnelle) doit aboutir à formaliser léquivalence de cette procédure avec la procédure générique: cest lenjeu majeur de la conceptualisation et le rôle de lÉcole.

47 Création de la fiche outil référente

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50 Situation dentraînement Il sagit de présenter des problèmes dans le même contexte. Lintérêt est de justifier. Cest aussi loccasion de travailler sur les paramètres liés à la présentation des énoncés.

51 Quelques paramètres Les variables rhétoriques – Les indices sémantiques présents dans lénoncé comme donne, vend, achète favorisent ou complexifient la compréhension de lénoncé. – Les énoncés dont le thème est connu des élèves sont majoritairement mieux réussis. – Les déclencheurs inclus dans la question, comme en tout, reste- t-il, chacun, font partie des indices qui conditionnent les performances. – Lorganisation des événements temporels et syntaxiques est à considérer: il arrive que lordre des événements de lhistoire ne soit pas celui dans lequel ils sont relatés dans lénoncé. La coïncidence entre la chronologie des événements et celle du récit (énoncé) est un facteur favorisant. – Le placement de la question en tête dénoncé entraîne une augmentation des performances. – Tout comme le contexte, le vocabulaire familier à lélève est facilitant.

52 Les variables sémantico-conceptuelles Savoir quil existe différents types de problèmes au sein dune même structure, correspondant à la recherche de différents états, permet à lélève délargir son champ de résolution. La correspondance entre lordre dapparition des nombres et celui dans lequel ils doivent être traités est favorable aux performances. Il en est de même pour la coïncidence entre un déclencheur et lopérateur mathématique : combien y en a-t-il en plus ? peut se traiter par une soustraction ou par une addition (dans le cas dune composition détats). La correspondance entre lindice sémantique et lopérateur mathématique est également un facteur facilitateur : Paul mesure 130 cm. Cest 24 cm de plus que sa sœur. Combien mesure sa sœur?

53 Les variables numériques – Le choix de la taille des nombres détermine de rester ou non dans le champ numérique connu par les élèves. Cette variable permet de rendre impossible la manipulation et donc dobliger lélève à se concentrer sur les procédures. – La taille des nombres nest pas forcément un critère de difficulté. Il faut tenir compte des relations ou des écarts particuliers qui existent entre ces nombres : 500 ou 700 sont des « grands nombres » mais avec un écart facilement identifiable ; 80 et 20 sont liés par le rapport de 4… – On peut ou non inclure dans lénoncé des valeurs inutiles à la résolution du problème.

54 Situations de réinvestissement Elles se caractérisent par une décontextualisation des situations: derrière les « traits de surface », les élèves doivent identifier la structure. La structuration passe par la production dénoncés.

55 Préparation type Séance de réinvestissement. Objectifs : –Elaborer une procédure personnelle de résolution pour un problème du type « _______ » ; –Passer dune procédure personnelle à une procédure experte pour un problème du type « _______ ». Compétences visées : –Résoudre des problèmes simples faisant intervenir laddition ou la soustraction. Déroulement : Phase dappropriation du problème et de la consigne : –Lecture silencieuse du problème (Oral / individuel) –Lecture orale du problème (Oral / collectif) –Reformulation par les élèves (Oral / collectif)

56 Phase de recherche : –Différenciée suivant les élèves : (Ecrit (ou oral) / individuel) Evocation de la situation concrète pour les élèves en niveau 1 puis passage au niveau 2 ; Evocation dune mise en relation de la situation avec une situation référente pour les élèves en niveau 2 puis passage à lélaboration dune procédure personnelle de résolution ; Elaboration dune procédure personnelle de résolution pour les élèves en niveau 3 ou 4 ; Elaboration de la procédure experte pour les élèves en niveau 5. Phase de conflit socio-cognitif : (Oral / Groupes de 2) –Par groupes de deux élèves, interactions sur les procédures utilisées (deux élèves élaborant chacun une procédure de résolution dun niveau immédiatement supérieur) et passage éventuel dune procédure personnelle vers une procédure experte.

57 Phase de mise en commun des procédures : (Oral / collectif) –Présentation des différentes procédures en allant du niveau 1 au niveau 5 ; –Justification du point de vue et argumentation proprement dite : interaction des élèves qui répondent aux questions « comment ? » et « pourquoi ? » Phase de structuration des connaissances procédurales: (Oral / collectif) Faire sienne une nouvelle procédure en interrogeant les démarches des autres élèves pour lélaboration dune procédure pour un problème du type « ______

58 Pour faire un trou et pêcher, un esquimau a uriné les 1,5 litres de pipi nécessaires pour faire fondre la couche de glace de 16 cm d'épaisseur. Combien de litres de pipi faudra t-il pour percer le même trou mais dans une épaisseur de glace de 13 m ? Combien d'esquimaux faudra t-il inviter pour faire un trou identique dans la glace de la patinoire de Proville épaisse de 1,30 m ?

59 Tableau synthétique de la séquence Re…..visionnage

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61 Récapitulatif TYPE DACTIVITE POUR LELEVE POUR LE MAITRE Une situation manipuler, verbaliser diagnostiquer Entraînementreprésenter, opérationnaliser différencier Réinvestissementcomparer, automatiser différencier Evaluationrestituer des problèmes analyser

62 Commentaire dune conférence de Rémi Brissiaud source Irem Réunion avec leur aimable autorisation

63 Brissiaud: La soustraction Mise en évidence dune équivalence qui fonde le concept de soustraction Explicitation de 2 processus dabstraction qui permettent la conceptualisation. –Cest lenjeu même de la scolarisation que de permettre la mise en place de ces 2 processus.

64 Il existe 3 niveaux de résolution dun même problème arithmétique: 1 er niveau: –Mime de lénoncé par compréhension du langage usuel –Simulation des actions ou des relations

65 2 ème niveau: –Approche arithmétisé du problème –Résolution par approximations successives 3 ème niveau: –Reconnaissance experte du problème posé –Choix optimal de la (ou les) opération (s)

66 Cette EQUIVALENCE qui fonde le concept de soustraction Enoncé 1: Violette a 47 billes, elle perd 3 billes. Combien lui en reste t-il? (Réussite: 56%) Enoncé 2: Violette a 47 billes, elle perd 44 billes. Combien lui en reste t-il? (Réussite: 15%) 2 problèmes de type et-E.

67 Pour lenfant, avant lenseignement, chercher le résultat dun retrait en avançant sur la suite des nombres contient une incompatibilité.

68 Lenjeu de la conceptualisation de la soustraction à lécole est lappropriation de léquivalence: a – b = …. b + … = a retrait complément

69 Même constat à propos de 2 autres énoncés sur lappropriation de léquivalence Enoncé 3: Siméon a 44 billes. Il en gagne. Après, il en a 47. Combien en a-t-il gagné ? (Réussite: 54%) Enoncé 4: Siméon a 3 billes. Il en gagne. Après, il en a 47. Combien en a-t-il gagné? (Réussite: 10%) 2 problèmes de type eT+e.

70 Retour à lénoncé 2 : Violette a 47 billes, elle perd 44 billes. Combien lui en reste t-il? (Réussite: 15%) Vers un 1 er processus dabstraction: Le maître demande à lélève de « faire un schéma ».

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72 Vers un 2 nd processus dabstraction: Permet la prise de conscience de léquivalence Donne accès à des raisons de cette équivalence Ces raisons doivent être formulées en termes dactions Permet de faire fonctionner les signes arithmétiques de cette équivalence

73 La soustraction: un 2 ème processus dabstraction Utilise ces « files de boîte » pour calculer tes soustractions 42 – 39 = … – 39 = 3 x xx

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75 Cest fini…


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