1. Situation fondamentale Mathématique et didactique

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1 1. Situation fondamentale Mathématique et didactique
Les nombres naturels 1. Situation fondamentale Mathématique et didactique Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

2 Glossaire et prologue Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

3 Le nombre naturel L’humanité entière, depuis la nuit des temps, peut distinguer et communiquer le nombre de certaines collections. Quelques espèces d’animaux le font aussi. Les moyens utilisés peuvent être très différents d’une culture à l’autre et les moyens de les transmettre aussi. Il en résulte une multiplicité de termes et d’acceptions accompagnée d’une certaine confusion dans leur usage L’initiation à ces usages commence avec l’école maternelle, et pour les professeurs le conflit entre la dénomination correcte et les usages commence. Contrairement à une croyance, les termes familiers ne sont pas les plus faciles à apprendre et à comprendre. Avant de nous référer à la définition mathématique du nombre naturel, il convient d’évoquer ce vocabulaire et le sens que nous choisirons pour quelques uns de ces termes tels que énumérer, dénombrer, compter, numéroter,… » Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

4 Classer, trier, ranger, La dénomination, la caractérisation, le dessin, et le classement d’objets, la construction d’un « code » pour les désigner, la constitution de listes et leur désignation… à l’école maternelle ont fait l’objet d’expérimentations et d’études présentées précédemment dans ce cours (cf. La création d’un code à l’école maternelle) Classer, c’est effectuer une partition d’un ensemble en classes (disjointes) et répartir les éléments selon des caractères exclusifs, Trier, classer en fonction de différences, sans avoir nécessairement une connaissance a priori des classes obtenues. Ranger, c’est mettre en rang, disposer selon une relation d’ordre déterminée, c’est donc attribuer un rang à chaque élément d’un ensemble dénombrable Dans le langage courant, les termes classer et ranger prennent souvent le sens l’un de l’autre Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

5 Énumération Énumérer un ensemble c’est distinguer un premier élément unique, puis identifier pour chaque élément, son unique successeur. Comme souvent en mathématique un terme peut désigner l’opération ou son résultat. Énumérer produit une énumération L’ensemble est fini s’il possède un élément sans successeur. Un ensemble de n éléments possède n! énumérations. Énumérer un ensemble permet d’attribuer à chacun de ses éléments une identité distincte, un nom unique. Si les éléments ont plusieurs noms, un seul est « canonique », les autres sont des synonymes. L’énumération des noms canoniques est une liste des éléments de cet ensemble. Traditionnellement l’énumération était confondue avec le comptage. J. Briand a montré que certains enfants peuvent réciter sans faute la suite des nombres en promenant leur doigt sur les objets d’une collection, mais se tromper dans le comptage parce qu’ils ne savent pas énumérer. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

6 Situation fondamentale de l’énumération (Enfants de 4/5 ans),
Sur l’écran de l’ordinateur… avec la souris, l’enfant doit énumérer les lapins : les pointer successivement TOUS et UNE SEULE FOIS, puis pointer le pré. S’il a bien énuméré les lapins, ils vont dans le pré… De même tous les canards doivent gagner la mare en même temps. Mais c’est plus difficile (disposition et couleurs variées) Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

7 Il existe un très grande nombre de stratégies d’énumération adaptées à des circonstances diverses.
Les énumérations sont fréquentes dans la vie courante; mais en mathématiques elles servent essentiellement à déterminer le nombre d’éléments d’une collection. Au point que l’énumération est souvent confondue avec le comptage. L’énumération est la principale difficulté du comptage. Il est parfois difficile de montrer que l’on a considéré tous les éléments, et chacun, une seule fois. Il est impossible d’attribuer un nombre à une collection que l’on ne peut pas énumérer. Il existe de nombreux cas concrets où un ensemble que l’on sait fini ne peut pas être matériellement énuméré : si tous les éléments ne sont pas distinguables deux à deux, s’ils se déplacent constamment, s’ils ne sont pas tous visibles en même temps, s’ils sont trop nombreux pour les capacités de celui qui énumère… L’analyse combinatoire est la science qui étudie les configurations de collections finies d'objets, leur énumération et leur dénombrement. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

8 Comptine, Nombre, nombrer …
Comptine, succession de mots totalement ordonnés, fixée une fois pour toute en une liste canonique. Nombre (ordinal), mot appartenant à une liste canonique telle que chaque mot détermine un successeur unique. Compter, associer, matériellement ou par un calcul, une énumération des éléments d’une collection à celle d’une comptine canonique Rang, formulation particulière indiquant que l’ordre d’énumération de la liste canonique correspond à une relation d’ordre justifiée dans la collection comptée Nombrer, attribuer un nombre à une collection pour la mesurer, soit en indiquant le dernier mot de la liste canonique associé au dernier élément de l’énumération Soit en établissant une correspondance bijective (terme à terme) avec un ensemble dont on connaît déjà le nombre Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

9 Dénombrement Nombre (cardinal), nombre ordinal utilisé pour nombrer une collection, collection de toutes les collections entre lesquelles il existe une correspondance terme à terme Dénombrer une collection – notamment de personnes - c’est l’énumérer et en faire la liste, l’inventaire [Littré]. Concrètement, c’est mettre une collection en correspondance bijective (un à un) avec une liste, ou avec une autre collection, C’est aussi établir une correspondance un à un avec une autre collection, déjà mesurée ou disponible ou avec la réunion de plusieurs ensembles disjoints… sans écrire le nombre… Un ensemble est dénombrable s’il peut être mis en correspondance avec une partie de l’ensemble des nombres naturels, même s’il est infini. En mathématique la possibilité théorique suffit. Système de Numération Méthode de construction des mots d’une liste canonique permettant de nombrer les collections Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

10 Comptage, Numéro, Comptage : Action de compter, Énumérer une collection et mettre chaque élément en correspondance avec un mot de la comptine ou procédé équivalent Surcompter Compter des nombres. Par exemple dans le calcul de sommes de nombres, pour calculer , associer 1 à 19, 2 à 20 et 3 à 21: 1 2 3 Décompter, soustraire (observation plaisante on peut décompter en surcomptant) Un numéro est un nombre utilisé comme simple nom. Numéroter: utiliser des nombres pour nommer seulement des objets, pour les désigner, pour les distinguer, sans préoccupation de comptage, ou même de rangement (numéros de téléphones). Les numéros permettent toutefois un rangement et des classifications arbitraires (ex. pairs et impairs pour les rues) Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

11 Réflexions théoriques et méthodologiques
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12 L’étude scientifique devait :
La tradition propose des procédés dérivés de ces « définitions », pour déterminer des conditions dans lesquelles un enfant de cinq ans peut utiliser et apprendre des nombres. Dès le début, de nos recherches nous avons décidé de comparer chaque concept scolaire (l’égalité par exemple) à une de leurs définitions mathématiques actuelles et d’en déduire les situations. Nous avons refusé que des pratiques incorrectes du point de vue mathématique soient obligatoirement acceptées au titre de la pédagogie pour débutants. Cette intransigeance n’était pas le résultat d’une préciosité ridicule. L’étude scientifique devait : - détecter les « transpositions » traditionnelles abusives ou non, - étudier leurs effets positifs ou négatifs - et montrer si la transposition didactique qu’elles effectuaient ainsi était vraiment utile. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

13 Définition mathématique du nombre naturel
Le mathématicien Peano donne pour le nombre naturel, la définition axiomatique suivante: Est un nombre naturel : tout objet qui a les propriétés suivantes : Il est un élément d’une collection… … qui est munie d’une relation d’ordre (transitive, non réflexive, antisymétrique)… … ordre total (tous les éléments sont comparables) … chaque élément possède un successeur unique, (ensemble discret, ordre injectif) Cette collection possède un premier élément unique (qui sera appelé 1) et si 2 éléments sont égaux, alors ils ont le même prédécesseur (ordre surjectif sur N – {1}) Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

14 Principes Comment dériver de cette « définition», des conditions, dans lesquelles un enfant de cinq ans peut utiliser et apprendre des nombres ? Toutes les méthodes ne sont pas également adaptées à toutes les situations (1), Suivant leur taille, les nombres ne sont pas compris et appris par les mêmes méthodes ni au même moment (2) Toutes les méthodes ne sont pas dominées en même temps par un enfant, (aucune ne remplace toutes les autres dans toutes les circonstances) (3) Apprendre à compter ne signifie pas la même chose suivant les environnements et les situations. Par contre « le nombre naturel » peut être défini indépendamment de la méthode de mesure par sa « situation fondamentale », présentée plus loin [1]. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

15 Les situations mathématiques
Nous voulons que l’apprentissage de l’élève soit une simulation de la démarche mathématique et non une récitation du texte de mathématique qui en résulte. Alors l’idée consiste à considérer les conditions comme déterminées par une « situation », c’est-à-dire: par un projet d’action qui ne peut être réussi que si la notion mathématique visée est utilisée, et qui est tel qu’on n’a pas besoin de connaître à l’avance cette notion ni pour réussir le projet, ni pour l’entreprendre. On peut donc proposer une telle situation à l’élève sans être obligé de lui enseigner la réponse. Cette situation est celle du mathématicien qui crée des instruments pour résoudre une question ou un problème. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

16 Quelle situation exige et permet l’invention d’une notion mathématique?
Une « situation » est - un agencement de conditions dans lesquelles un actant doit se trouver - avec un projet qu’il doit vouloir réaliser - la réussite de ce projet doit exiger l’usage d’une notion mathématique (par exemple un nombre: demander de compter une collection instaure une situation) Mais nous voulons parfois avoir des situations qui n’exigent pas que la notion mathématique nécessaire soit déjà sue ou même connue par l’élève. (situations « fondamentales ») Par exemple on veut que l’élève doive et puisse utiliser un nombre, même s’il ne le connaît pas, et même s’il ne sait pas ce qu’est un nombre. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

17 Ce projet est absurde dans la didactique classique.
Il ne l’est pas en éthologie: quelle situation (quel dispositif) permettrait de savoir si les corbeaux « connaissent » des nombres ? Cet exemple met en lumière l’importance de définir une notion non pas par son nom, sa description ou sa définition, mais par sa fonction dans un système. Et de distinguer ainsi entre connaissance et savoir: Les corbeaux ne savent pas les nombres, mais ils en connaissent quelques uns Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

18 L’observation des situations
Remarque: toute activité de classe qui fait réfléchir les élèves peut être modélisée comme « situation ». Il s’agit alors de déterminer par la modélisation et par l’observation à quoi elle les fait réfléchir réellement. Le concept est utilisé aussi bien pour systématiser l’observation que pour guider l’ingénierie didactique Alors observons … Voici trois façons différentes de considérer la connaissance des nombres naturels, deux observées, une troisième que nous avons construite. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

19 Méthodes observées Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

20 Scène familiale: Comptage populaire
Bébé compte Maman : - Vous savez, grand père, le petit sait compter! Grand père : - c'est vrai? voyons ça mon mignon... - "Montre à grand père que tu sais bien compter" L'enfant, quatre ans : - Un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, dix, quinze, heu... Grand père, admiratif : - Aaah! très bien! Il ne te reste plus qu'à continuer! Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

21 Comptage scolaire Mais dans la famille il y a la tante Mimi qui est une institutrice à la retraite. Tante Mimi : - Mais non, grand père! pour savoir si cet enfant sait compter il faut lui montrer des doigts et lui demander combien il y en a, et puis lui demander à son tour de montrer tant de doigts! il ne suffit pas de réciter la suite des nombres! Et s'il n'y parvient pas bien, il ne faut pas que maman soit déçue. A quatre ans la plupart des enfants ne peuvent guère vraiment comprendre les nombres au delà de 5, les psychologues vous le diront. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

22 Maman : - mais notre petite voisine Odile, qui a cinq ans, compte bien jusqu'à soixante et dix!
Tante Mimi : - Oui, elle peut aussi réciter "Le chat la belette et le petit lapin" qui comporte bien plus de 70 mots, mais elle croit que les pénates sont des espèces de pantoufles! Ce n'est pas bien grave, mais une jeune collègue m'a raconté que les parents exercent actuellement une forte pression pour "faire compter" précocement les enfants. Elle constate que sous l'influence de ce matraquage, certains de ses élèves se mettent à compter, dès lors qu'ils entendent le mot "nombre" sans même vouloir réfléchir à la question qu'on leur pose. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

23 Conséquences Sa classe d'école maternelle est celle des élèves de 4 à 5 ans. Certains parents ont enseigné à leurs enfants le comptage mécanique jusqu'au delà de cinquante. Elle ne peut plus proposer d’exercices ordinaires de raisonnement… dès qu’il y a plusieurs objets à classer… ils les comptent, sans raisonner ! Les autres enfants en sont à 5, normalement, Elle ne pouvait plus organiser aucune activité mathématique commune. On aurait pu lui conseiller l’usage de la situation fondamentale Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

24 La situation fondamentale du nombre naturel
Expérimentations au groupe scolaire J. Michelet, l’école pour l’observation du COREM Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

25 La consigne P : "Nous avons ici des peintures dans ces petits pots.
A) Tu dois aller chercher des pinceaux dans le vase là-bas. B) Tu reviendras ici, mettre un seul pinceau dans chaque pot. C) et il faut qu'il ne reste ici ni pinceau sans pot, ni pot sans pinceau. D) Tu dois rapporter tous les pinceaux en une fois E) Si tu te trompes, tu reprends tous les pinceaux, tu les ramènes là-bas et tu essaies à nouveau. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

26 Il faut aller chercher les pinceaux en une fois en mettre un dans chaque pot, il ne doit rester ni pot vide, ni pinceau Je n’ai dessiné que 6 pots par commodité. Le nombre choisi dépend des connaissances des élèves et du projet du professeur Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

27 L’enfant va, prend une poignée de pinceaux et revient…
? Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

28 Alors, tu as réussi ? Non, parce qu’il m’en reste trois Ça ne va pas, reprends les tous et essaie encore Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

29 L’élève pourrait ignorer le nom du nombre de pinceaux, par exemple en repérant une disposition particulière, ou en repérant les pots avec ses doigts Mais quoi qu’il fasse, si cela réussit, c’est parce que le moyen aura été spécifique du nombre 6 La situation est valable pour un nombre quelconque et l’ensemble des réponses satisfait la définition de Péano. Nous avons ainsi une situation fondamentale de la connaissance d’un nombre. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

30 Certains enfants conseillent : « compte… compte les pots
Certains enfants conseillent : « compte… compte les pots! » L’enfant compte les pots Un, deux, trois, quatre, cinq, six ! Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

31 Mais certains enfants prennent quand même une poignée de pinceaux et reviennent… Il n’ont pas compris l’essentiel ! Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

32 Les autres… « mais non. compte aussi les pinceaux…
Les autres… «  mais non! compte aussi les pinceaux…! » Certains enfants comptent tous les pinceaux, et … ils en prennent quand même un paquet au jugé et reviennent près des pots Un, deux, trois, …, …, dix-sept Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

33 Prof. Tu sauras compter quand tu pourras faire ça, du premier coup même quand il y a beaucoup de pots ? Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

34 Et même un peu plus: il faut être sûr
A un élève qui réussit bien, le professeur tend un piège: Pendant qu’il est occupé à prendre les pinceaux, il subtilise un pot… Lorsque l’élève revient, il doit être assez sûr de son savoir et de son droit pour dire sans crainte « Quelqu’un m’a fait une blague et m’a pris un pot ! » Cette confiance exige que la validité de sa connaissance personnelle ait été reconnue par son environnement – comme référence –. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

35 Connaissances et savoirs
Il convient donc de distinguer des connaissances, comme moyens plus ou moins vrais et efficaces de répondre à une situation mathématique, et les savoirs, connaissances partagées et reconnues comme références par un environnement. (Il ne s’agit pas de catégories psychologiques mais de fonctions didactiques: un même texte peut être connaissance ou savoir selon les circonstances) Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

36 Mais… ?? Mais, me direz-vous, l’élève a bien utilisé les nombres, puisqu’il a compté… Il a utilisé ce qu’il savait déjà, Mais voyons ce qui se passe pour des nombres au-delà de sa compétence, des nombres qu’il ne connaît pas encore. Tout moyen efficace sera équivalent au nombre nécessaire. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

37 Pour rendre visible la nécessité d’une écriture du nombre il est commode de remplacer la situation d’auto- communication par une situation de communication véritable. L’enfant qui voit les pots de peinture ne peut obtenir les pinceaux qu’en les demandant à un autre enfant. Il doit donc lui envoyer un (et un seul) message que l’autre doit pouvoir lire et traduire en une quantité exacte de pinceaux. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

38 6 Situation de communication
Et si le destinataire ne comprend pas « 6 »? Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

39 IIIIII Situation de communication …La méthode de Robinson Crusoë
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40 La situation des pots de peinture rend nécessaire l’invention de systèmes d’écritures et leur usage social (entre élèves). Elle permet aux élèves de chercher des façons de désigner des nombres avant qu’ils ne connaissent leur écriture canonique, en se servant des nombres qu’ils connaissent déjà. Ainsi, par exemple, ils peuvent utiliser « l’addition » pour identifier des nombres de 8 à 15 dès qu’ils ont un répertoire de 1 à 7. Par ex. pour 12 : « 7 et 5 » Ils peuvent communiquer des nombres de l’ordre de 200 et plus avec un répertoire ordinaire de 1 à 15, en mettant les collections effectives en tableaux. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

41 Ainsi la situation proposée ci-dessus introduit le « nombre naturel » comme le concept (principal) qui permet d’établir et de communiquer à distance, que deux ensembles finis sont équipotents. Il s’agit ensuite pour les élèves de « construire » les systèmes de communication des nombres : la numération Pour cela il faut d’abord explorer la structure algébrique - les opérations - qui permettent de prolonger la liste des nombres que l’on sait nommer Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels

42 Mais la situation fondamentale n’est pas une leçon introductive que l’on ne fait qu’une fois et qui n’est ensuite qu’évoquée. Elle va servir pour l’apprentissage des activités et des noms, comme référence, comme moyen de contrôle et ultérieurement, comme base de « découverte » de toutes les propriétés des nombres naturels Elle fournit une alternative « naturelle » aux méthodes classiques d’enseignement et d’apprentissage. Cours de Sao Paolo Les nombres Naturels