Eyeball Theorem. Dumonceau Renaud 2 ème Math. Constructions Soient les cercles C 1 et C 2 de centres A et B.

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1 Eyeball Theorem. Dumonceau Renaud 2 ème Math

2 Constructions Soient les cercles C 1 et C 2 de centres A et B.

3 Constructions Soient les cercles C 1 et C 2 de centres A et B. Traçons les tangentes au cercle C 1 passant par B

4 Constructions Soient les cercles C 1 et C 2 de centres A et B. Traçons les tangentes au cercle C 1 passant par B. Traçons les tangentes au cercle C 2 passant par A

5 Thèse: On construit les cordes MN et PQ. Prouvons que MN = PQ

6 Démonstration

7 Traçons les segments [AF], [AE], [BC], [BD] et [AB]. Appelons S le milieu de [MN] et R le milieu de [PQ].

8 Travaillons dans les triangles ASM et ABC.

9 Dans les triangles ABC et ASM Les deux triangles possèdent l’angle A en commun, de plus, ils ont chacun un angle droit. Ils sont donc semblables. En effet, deux triangles sont semblables si et seulement si ils possèdent deux angles homologues de même amplitude.

10 Les deux triangles étant semblables, on peut en déduire une égalité entre les rapports suivants: MSCB AMAB

11 Ce qui nous donne: MS CBOr, AM = AF = rayon de C 1 (r 1 ). AM ABBC = rayon de C 2 (r 2 ). Ce qui nous donne, moyennant certaines modifications: MS = r 1. r 2 D’où, MN = 2. r 1. r 2 (1) AB

12 Travaillons dans les triangles BRP et BFA. En travaillant de la même façon (triangles semblables) on arrive au rapport suivant: PQ = 2. r 1. r 2(2) AB

13 Conclusion

14 Nous venons de trouver les rapports suivants : (1) MN = 2. r 1. r 2 AB (2) PQ = 2. r 1. r 2 AB Ce qui démontre bien que MN = PQ. Cqfd.