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Calcul de probabilités Expérience aléatoire à plusieurs étapes ( exemple : 2 tirages )

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1 Calcul de probabilités Expérience aléatoire à plusieurs étapes ( exemple : 2 tirages )

2 Calcul de la probabilité dexpérience aléatoire Dans une expérience aléatoire à plusieurs étapes, la probabilité dun événement est égale au produit des probabilités de chacun des événements intermédiaires qui forment cet événement. Deux événements peuvent être indépendants : Cest-à-dire que la réalisation de lun ninfluence pas la probabilité de réalisation de lautre. À la loto, le résultat de lextra est 7 numéros provenant de 7 bouliers contenant chacun des boules numérotées de 0 à 9. Deux événements peuvent être dépendants : Cest-à-dire que la réalisation de lun influence la probabilité de réalisation de lautre. La lotto 6/49 est un bon exemple. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans le boulier et on fait le deuxième tirage. Ainsi de suite pour les 6 numéros.

3 Regardons la différence entre ces deux évènements et regardons également comment calculer leurs probabilités en utilisant un arbre de probabilités.

4 Arbre de dénombrement et arbre de probabilités Larbre de probabilités est obtenu à partir de larbre de dénombrement. Exemple: On lance deux fois de suite une pièce de monnaie, on voudrait connaître la probabilité dobtenir 2 fois « pile ». 1 er lancer 2 e lancer Arbre de dénombrement P, PP, FF, PF, F pièce P F F P P F résultats

5 pièce 1 er lancer2 e lancer P F F P P F Arbres de probabilités probabilités Il y a une chance sur deux dobtenir pile. Larbre de probabilités est comme un arbre de dénombrement sur lequel on inscrit la probabilité de chaque possibilité.

6 P, P P, F F, P F, F pièce P F F P P F Arbre de dénombrement Il y a 4 résultats possibles. Chaque résultat a 1 chance sur 4 de se produire.

7 Arbres de probabilités pièce 1 er lancer2 e lancer P F F P P F probabilités Larbre de probabilités permet de calculer directement la probabilité de chaque résultat.

8 Arbres de probabilités pièce 1 er lancer2 e lancer P F F P P F probabilités La probabilité dobtenir « pile » suivi de « face » se calcule comme suit: P( pile suivi de face ) = P(A) X P(B) = A : obtenir pile B : obtenir face X = 1 4 P ( A B ) = P(A) X P(B) = X = 1 4

9 Probabilités de deux évènements indépendants. Dans une expérience aléatoire à deux étapes, deux évènements sont dits indépendants si la première étape ninfluence pas la deuxième. Exemple: On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on remet la boule dans lurne. Le deuxième tirage ne sera donc pas influencé par le premier, puisquon remet la boule, obtenue au premier, tirage dans lurne. Regardons à laide de larbre de probabilités, cette situation.

10 Exemple : On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivi dune bille bleue si on remet la boule dans lurne ? R B R B R B 3/10 7/10 3/10 7/10 3/10 7/10 (R,R) (R,B) (B,R) (B,B) 3/10 X 3/10 = 9/100 3/10 X 7/10 = 21/100 7/10 X 3/10 = 21/100 7/10 X 7/10 = 49/100 1 ère pige2 e pigeRésultatProbabilité Avec la formule: P( rouge suivi bleue ) = P (R B ) = P(R) X P(B) = 3 10 X = Probabilité de deux évènements indépendants. Traçons larbre de probabilité de cette expérience aléatoire. R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue.

11 Probabilités de deux évènements dépendants. Dans une expérience aléatoire à deux étapes, deux évènements sont dits dépendants si la première étape influence la deuxième. Exemple: On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans lurne. Le deuxième tirage sera donc influencé par le fait que lon ne remet pas la boule obtenue au premier tirage. Le deuxième tirage est donc influencé par le premier. Regardons à laide de larbre de probabilités, cette situation.

12 Larbre de probabilités ( sans remise ) R B R B R B 3/10 7/10 2/9 7/9 3/9 6/9 (R,R) (R,B) (B,R) (B,B) 3/10 X 2/9 = 6/90 3/10 X 7/9 = 21/90 7/10 X 3/9 = 21/90 7/10 X 6/9 = 42/90 1 ère pige2 e pigeRésultatProbabilité On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans lurne. Quelle est la probabilité de tirer 1 bille rouge suivi dune bille bleue ? R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue. Il ne reste que 9 boules dans lurne. Réponse: 21/90

13 Larbre de probabilités ( sans remise ) R B R B R B 3/10 7/10 2/9 7/9 3/9 6/9 (R,R) (R,B) (B,R) (B,B) 3/10 X 2/9 = 6/90 3/10 X 7/9 = 21/90 7/10 X 3/9 = 21/90 7/10 X 6/9 = 42/90 1 ère pige2 e pigeRésultatProbabilité P ( R B) = P(R) X P(B I R) Ici, il faut lire : la probabilité de tirer une bille bleue étant donné le tirage sans remise de la bille rouge : P ( R B) = P(R) X P(B I R) P ( R B) = X= Avec la formule:

14 Sil ny a pas de remise de la bille dans lurne (Sans remise) : 10 3 = 9 2 x 90 6 = 15 1 = On na pas remis la première bille dans lurne. On tire 2 billes dune urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. La probabilité de lévénement « tirer successivement 2 billes rouges » se note : P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) x P(Rouge) Sil y a remise de la bille dans lurne (Avec remise) : 10 3 = 3 x = P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) x P(Rouge Rouge)

15 Exemple : Lors dune expérience aléatoire, on lance successivement une pièce de monnaie et un dé. P F /2 1/6 (P,1) (P,2) (P,3) (P,4) (P,5) (P,6) (F,1) (F,2) (F,3) (F,4) (F,5) (F,6) 1/2 X 1/6 = 1/12 1 er lancer2 e lancerRésultatProbabilité

16 Les deux évènements sont indépendants donc: P(A B ) = P(A) X P(B) A : obtenir pileB : obtenir le nombre 4 Quelle est la probabilité dobtenir pile suivi du nombre 4 ? P(A B ) = X = 1 12 Remarque: On voit parfois écrit P(A B ) comme ceci P(A, B). Avec la formule:

17 Lors dune expérience à 2 étapes, la probabilité dobtenir un à la suite de lautre deux évènements indépendants se calcule par : P(A B ) = P(A) X P(B) Lors dune expérience à 2 étapes, la probabilité dobtenir un à la suite de lautre deux évènements dépendants se calcule par : P ( A B) = P(A) X P(B I A)

18 Un sac contient 8 billes de même format: 3 sont bleues, 4 sont vertes et 1 est jaune. On réalise lexpérience aléatoire suivante: tirer 2 billes avec remise. Quelle est la probabilité de tirer 2 billes de la même couleur ? P(B) = 3/8 P(V) = 4/8 P(J) = 1/8 P( tirer deux billes de même couleur) : P(B B) + P(V V) + P(J J) = X X = X = = Ici, il faut comprendre tirer 2 billes bleues ou 2 billes vertes ou 1 bille jaune.


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