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Fonction polynomiale de degré 1 Fonction linéaire f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b.

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1 Fonction polynomiale de degré 1 Fonction linéaire f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b

2 Plusieurs situations de la vie courante évoluent selon une même tendance. Exemples: Le salaire dun employé en fonction des heures travaillées. Le coût dun plein dessence en fonction du nombre de litres. Le périmètre dun carré en fonction de la longueur du côté. Le coût de location en fonction des heures. Le remplissage dune piscine en fonction des heures. La conversion en degré Fahrenheit en fonction des degrés Celsius. Le revenu des ventes en fonction des articles vendus. En électricité, la courbe de la tension en fonction du courant. Etc.

3 En mettant en relation les variables de ce type de situations, on observe quelles ont tendance à saligner selon une ligne droite. Exemples: 5 50 Heures ($) Salaire dun travailleur

4 20 0C0C 25 0F0F Conversion de température

5 Courbe de la tension en fonction du courant Courant (A) 0,25 0,50 0,75 1 Tension (V)

6 Elles suivent un certain modèle mathématique: soit le modèle de la fonction polynomiale de degré 1 mieux connu sous le nom de fonction linéaire: f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b La courbe associée à ce modèle est une ligne droite oblique. x y x y

7 Remarque:Dans le plan cartésien, une série de points reliés entre eux porte le nom de courbe. Exemples: courbe linéairecourbe paraboliquecourbe sinusoïdale x y x y x y

8 La fonction linéaire est une fonction polynomiale de degré 1 car: f(x) = x f(x) = axf(x) = ax + b lexposant de la variable indépendante est Remarque:En algèbre, lexposant 1 ne sécrit pas mais il faut se souvenir quil est là. La courbe associée à la fonction polynomiale de degré 1 est toujours une ligne droite. La courbe associée à la fonction polynomiale de degré 2 est toujours une parabole. f(x) = x f(x) = x 2 x y x y

9 Examinons donc ce que signifie chacun des éléments de cette fonction. f(x) = a x + b représente la variable dépendante représente la variable indépendante Ces deux variables sont mises en relation par une règle; cette règle est déterminée par les deux paramètres qui les accompagnent. a est le taux de variation; il indique la grandeur de la variation entre les deux variables. b est lordonnée à lorigine; dans une situation réelle, on lappelle aussi la valeur initiale. dans le plan cartésien, elle correspond à laxe des ordonnées ( y ). dans le plan cartésien, elle correspond à laxe des abscisses ( x ).

10 Remarque:Les lettres a et b représentent des paramètres; f(x) = ax + b On aurait pu choisir dautres lettres. Limportant est de savoir que dans une fonction de degré 1 ( fonction linéaire): le paramètre qui est additionné ou soustrait à la variable indépendante est lordonnée à lorigine. On pourrait aussi bien écrire f(x) = mx + k le paramètre qui multiplie la variable indépendante est le taux de variation;

11 a le taux de variation Le taux de variation indique la grandeur de la variation entre les deux variables. Observons ce que cela signifie: Sa formule est: x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - Cest donc un rapport entre la variation des ordonnées et la variation des abscisses.

12 Variation Le point P 1 sest déplacé vers le point P 2. y P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x

13 Remarque: La détermination des points se fait toujours par rapport à laxe des abscisses. P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y Par rapport à laxe des abscisses, le point P 1 est le premier. Par rapport à laxe des abscisses, le point P 2 est le deuxième.

14 Variation P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y Le point P 1 sest déplacé vers le point P 2. Il a donc subi une variation ( un déplacement ) par rapport à laxe des x. On peut calculer cette variation en reportant les abscisses des points sur laxe des x. x1x1 x2x2 Variation des abscisses : x1x1 x2x2 - Il a également subi une variation par rapport à laxe des y. On peut calculer cette variation en reportant les ordonnées des points sur laxe des y. Variation des ordonnées : y1y1 y2y2 - y1y1 y2y = = -2 Une variation négative est significative. Remarque: La variation est parfois notée par ce symbole :. x : x 2 – x 1 y : y 2 – y 1 V ( x 1, x 2 ) : V ( y 1, y 2 ) :

15 P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y En reportant la variation des ordonnées sur la variation des abscisses, on obtient le taux de variation de la fonction. y : variation des ordonnées : x : variation des abscisses : x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - a = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 5 -2 y : x :

16 P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y Dans lexemple ci-contre: y : variation des ordonnées : x : variation des abscisses : x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - a = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 2 4 = y : x : =

17 a = Graphiquement, on peut constater ce fait Ce qui signifie que pour un accroissement dune unité des abscisses, il y a accroissement de deux unités des ordonnées. cest-à-dire a = x y

18 P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y Dans cet exemple, a = 5 -2 Ce qui signifie que pour un accroissement de 5 unités des abscisses, il y a décroissement de deux unités des ordonnées

19 P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y Un taux de variation positif indique que la fonction est croissante. Un taux de variation négatif indique que la fonction est décroissante. Remarque: a > 0 a < 0

20 Une des particularités de la fonction linéaire est que le taux de variation est constant. Cette caractéristique nous permet de déterminer si une table de valeurs représente une fonction linéaire x y

21 Exemple: … x f(x) … … … En utilisant la formule du taux de variation, on calcule au moins trois couples: x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = = = 3 Cette table de valeurs représente une fonction linéaire car le taux de variation est constant.

22 … x f(x) … … … Exemple: x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = = = 5 Cette table de valeurs ne représente pas une fonction linéaire car le taux de variation nest pas constant.

23 b lordonnée à lorigine Graphiquement, lordonnée à lorigine est le point de rencontre de la fonction avec laxe des ordonnées Dans lexemple ci-contre, lordonnée à lorigine est On appelle ce point ainsi car lorsque la fonction traverse laxe des ordonnées, elle le fait vis-à-vis lorigine du plan cartésien. Algébriquement, il existe donc un symbole précis pour représenter lordonnée à lorigine: f (0) À lorigine du plan cartésien, la valeur de x est 0. 0 la valeur de la fonction ( la valeur de y ) quand x vaut 0. Ce symbole est très important en mathématique. x y

24 On utilise, dans certaines situations, le terme « valeur initiale » pour parler de lordonnée à lorigine Remplissage dune piscine Litres Minutes Dans une situation réelle, comme le remplissage dune piscine, on peut avoir un point de départ. Par exemple, dans le graphique illustré ci-contre, il y a déjà litres deau au départ. Cest la première donnée donc la valeur initiale.

25 Maintenant que lon connaît les différentes significations des termes dune fonction du premier degré, voyons quelles différences il y a entre les 3 formes: f(x) = x f(x) = ax f(x) = ax + b Cest le modèle de base, cest-à-dire, le modèle le plus simple. En fait, on devrait liref(x) = x : f(x) = 1 x + 0 a = 1etb = 0 Graphiquement, cela correspond à: Dans une table de valeurs, cela correspond à: x … … … … f(x) Les valeurs de x sont égales aux valeurs de f(x). En géométrie, cette droite correspond à la droite d x y

26 f(x) = ax Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation directe. On lappelle aussi, simplement, fonction linéaire. Graphiquement, elle peut être orientée de plusieurs façons Dans une table de valeurs, les couples de coordonnées forment toujours une suite proportionnelle. … … x … … f(x) mais elle passera toujours par lorigine du plan cartésien. Exemple: f(x) x = = = = = = 2 1 = 4 2 = … … = 2 Bien entendu sauf le couple ( 0, 0 ). x y

27 Remarque: La fonction f(x) = x est une fonction linéaire de variation directe mais comme le coefficient ( le paramètre ) a = 1, les mathématiciens en ont fait la fonction de référence ou fonction de base du modèle linéaire. Toutes les fonctions que nous étudierons sont considérées comme fonction de base quand le paramètre a = 1 et que les autres paramètres sont égales à zéro. Exemple: La fonction du deuxième degré, appelée fonction quadratique, peut sécrire comme suit: f(x) = ax 2 + bx + c Si a = 1, b = 0 et c = 0, alors la fonction sécrit:f(x) = 1x 2 + 0x + 0 cest-à-dire f(x) = x 2 Cest la fonction de base du second degré et son graphique est : 1 x y

28 f(x) = ax + b Cette forme correspond à la fonction linéaire de variation partielle. On lappelle aussi fonction affine. Graphiquement, elle peut être orientée de plusieurs façons mais, bien entendu, elle ne passera jamais par lorigine du plan. x y

29 f(x) = ax + b Exemple: f(x) = 0,5x Le paramètre b crée une translation verticale de la fonction de variation directe f(x) = 0,5x + 2 f(x) = 0,5x - 2 Remarque: Les taux de variation étant identiques dans chaque équation, les 3 droites sont donc parallèles entre elles. x y

30 Dans une table de valeurs, le taux de variation est constant mais les différents couples ne sont pas proportionnels. f(x) x = 4 4 = ,5 1 = 3 2 = … 1 1,5 2 2,5 3 3, … x … … f(x) x y

31 Comment déterminer la règle dune fonction du premier degré Parmi les différentes fonctions, léquation de la fonction linéaire est la plus facile à déterminer. En effet, une propriété géométrique de la droite dit que: « Par 2 points, on ne peut faire passer quune seule droite. » Donc sachant quune fonction est linéaire, nous navons besoin que de deux couples de coordonnées pour en déterminer la règle.

32 Dans un graphique, Il nest pas nécessaire de prouver que la fonction est linéaire. Étape 1:En utilisant des coordonnées les plus précises possibles, on calcule le taux de variation. ( -3, -7 ) ( 2, 8 ) a = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 3 La règle débute donc par:f(x) = 3x + b x y

33 Étape 2: En utilisant le début de la règle, on détermine la valeur du paramètre b en utilisant un des couples. f(x) = 3x + bavec ( 2, 8 ) On remplace f(x) par lordonnée du couple, ( -3, -7 ) ( 2, 8 ) 8 = 3x + b On remplace x par labscisse du couple, 8 = 3 X 2 + b On isole b. 8 = 6 + b 2 = b 8 = 3 X 2 + b La règle de cette fonction est: f(x) = 3x + 2 Remarque: Parfois le graphique nous permet de déterminer b, mais ce nest pas toujours précis tandis que le calcul, lui, est précis. x y

34 Dans une table de valeurs en utilisant la formule du taux de variation, on calcule au moins trois couples: x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = = = 4 Il faut dabord vérifier si la table de valeurs représente une fonction linéaire; … x f(x) … … … La table de valeurs représente bien une fonction linéaire et le taux de variation est 4. La règle débute donc par f(x) = 4x + b

35 … x f(x) … … … La règle débute donc par f(x) = 4x + b On calcule b avec le début de la règle et un couple. f(x) = 4x + b avec ( 2, 6 ) On remplace f(x) par lordonnée du couple, 6 = 4x + b On remplace x par labscisse du couple, 6 = 4 X 2 + b On isole b. 6 = 8 + b -2 = b 6 = 4 X 2 + b La règle de cette fonction est: f(x) = 4x - 2 Remarque: Parfois la table de valeurs nous permet de déterminer b, Lordonnée à lorigine est la valeur de f(0) mais elle ne le donne pas toujours; il faut alors le calculer.

36 Dans un problème théorique Une fonction linéaire passe par les points ( 1, 37 ) et ( 5, 85 ). Quelle est sa règle ? Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire, donc nécessairement: f(x) = ax + b Étape 1: Calculer le taux de variation: a = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 12 Étape 2: Déterminer b :f(x) = 12x + b avec ( 1, 37 ) 37 = 12 X 1 + b 37 = 12 + b 25 = b La règle est donc f(x) = 12x + 25 ou ( 5, 85 ) 85 = 12 X 5 + b 85 = 60 + b 25 = b

37 Une fonction linéaire passe par les points ( 2, 66 ) et ( 4, 132 ). Quelle est sa règle ? Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire, donc nécessairement: f(x) = ax + b Étape 1: Calculer le taux de variation: a = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 33 Étape 2: Déterminer b :f(x) = 33x + b avec ( 2, 66 ) 66 = 33 X 2 + b 66 = 66 + b 0 = b La règle est donc f(x) = 33x Il sagit donc dune fonction linéaire de variation directe.

38 Dans une mise en situation Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire quil peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. Détermine la règle de cette situation. Les mises en situation sont les plus difficiles à transposer en équation. Il faut, en premier, lire attentivement les données du problème pour identifier les variables indépendante et dépendante. Dans cette situation, on pourrait se demander quelle variable dépend de lautre ? Le salaire dépend-il du nombre de fenêtres lavées ? ou Le nombre de fenêtres lavées dépend-il du salaire ? Bien entendu, le salaire dépend du nombre de fenêtres lavées; alors,variable dépendante: le salaire variable indépendante: le nombre de fenêtres lavées.

39 Dans une mise en situation Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire quil peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. La formulation « en fonction de » permet également de déterminer les variables. Ce qui suit cette formulation est toujours la variable indépendante. En fonction du nombre de fenêtres lavées; variable dépendante: le salaire. variable indépendante: le nombre de fenêtres lavées; f ( nombre de fenêtres lavées ) = le salaire ( var.dépendante ) var. indépendante f ( x )

40 Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire quil peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. Déterminer la règle dans une mise en situation. Pour détecter le taux de variation, il faut comprendre ce quest un taux. Un taux est un rapport entre 2 éléments. Exemple :0,50 $ par fenêtre0,50 $ pour 1 fenêtre. 10,00$/heure10,00$ pour 1 heure 100 km/hre 100 km pour 1 heure

41 Dans une mise en situation Pierre est laveur de fenêtres. Il gagne un salaire de base de 20,00$ plus 0,50$ par fenêtre lavée. Il veut connaître le salaire quil peut faire en fonction du nombre de fenêtres lavées. On a une valeur initiale: On a une augmentation régulière: 20,00 $ ( salaire de base ) 0,50 $ par fenêtre. La fonction est donc une fonction linéaire. La règle est donc:f(x) = 0,50x + 20

42 Aujourdhui, au Québec, lunité de mesure utilisée pour calculer la vitesse automobile est le kilomètre/heure ( Km/h ). Anciennement, ( et encore aujourdhui aux USA ) le système était le mille/heure ( MPH ). Dans les voitures, les odomètres représentent les deux systèmes de mesures. Quelle règle permet dexprimer le mille/heure en fonction du kilométrage/heure ?

43 Variable indépendante: x : Km/h Variable dépendante: f(x) : MPH Déterminons, dabord, au moins 3 couples de coordonnées pour savoir si la relation est linéaire. ( Km/h, MPH ) ( 0, 0 ) ( 80, 50 ) ( 160, 100 ) Il faut lire le plus précisément possible. Maintenant, calculons le taux de variation entre ces couples: a = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 0, = 0, = 0,625 Cest bien une fonction linéaire; f(x) = 0,625x Il ne sert à rien de calculer b car le premier couple indique ( 0, 0 ).

44 Lorsque la règle dune fonction est établie, elle sert doutil pour effectuer certains calculs. On peut ainsi calculer soit des valeurs de x soit des valeurs de f(x). Exemple: f(x) = 3 x + 2 En utilisant la règle f(x) = 3x + 2 Détermine f (10 ) la valeur de fquand x = 10 Il sagit alors dun simple calcul: f(10) =3 X =32On remplace x par la valeur suggérée: Dans le plan cartésien, ce point serait situé à ( 10, 32 ). la valeur de la fonction

45 Exemple: f(x) = 3 x + 2 En utilisant léquation f(x) = 3x + 2 Détermine x quand f(x) = 62 La valeur de xquand f(x) = 62 Ici, il faut RÉSOUDRE le problème: On remplace f(x) par la valeur suggérée: Dans le plan cartésien, ce point serait situé à ( 20, 62 ). 62 = 3 x + 2 On isole x :62 = 3 x = 3 x 20 = x quand la fonction vaut 62

46 Exemple: À partir de léquation de la vitesse automobile, f(x) = 0,625x Calcule en MPH, une vitesse de 160 Km/h. f(160) = 0,625 X 160 = f(x) = 0,625x f(x) = MPHx = km/h 100Réponse : Calcule en Km/h, une vitesse de 60 MPH f(x) = 0,625x 60 = 0,625x 96 = x 100 MPH Réponse :96 Km/h

47 Une fonction linéaire passe par les points ( 3, 36 ) et ( 8, 71 ). Détermine f(13) et la valeur de x quand f(x) = 173,9. Ici, le problème mentionne que la fonction est linéaire donc nécessairement: f(x) = ax + b Étape 1: Calculer le taux de variation: a = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 7 Étape 2: Déterminer b :f(x) = 7x + b avec ( 3, 36 ) 36 = 7 X 3 + b 36 = 21 + b 15 = b La règle est donc f(x) = 7x + 15 Il faut, en premier, déterminer la règle.

48 Léquation est f(x) = 7x + 15 f(13) = 7 X =106 f(x) = 173,9 f(x) = 7x ,9 = 7x ,9 = 7x 22,7 = x Utilisons, maintenant, la règle pour déterminer les valeurs demandées.

49 En utilisant la fonction f(x) = 0,5x + 2 Calcule f(0): f(x) = 0,5x + 2 f(0) = 0,5 X =2 soit le couple ( 0, 2 ) f(0) est le symbole de lordonnée à lorigine, cest-à-dire la valeur de f(x) quand x = 0 Calcule f(x) = 0: f(x) = 0,5x = 0,5x = 0,5x -4 = x soit le couple ( -4, 0 ) Remarque:Le point de rencontre de la courbe avec laxe des abscisses sappelle labscisse à lorigine. x y

50 On appelle ce point labscisse à lorigine car lorsque la fonction traverse laxe des abscisses, elle le fait vis-à-vis lorigine du plan cartésien. Algébriquement, il existe donc un symbole précis pour représenter lordonnée à lorigine: f(x) = 0 À lorigine du plan cartésien, la valeur de f(x) est 0 ( la valeur de y est 0 ). la valeur de x quand f(x) vaut 0. 0 Ce symbole est très important en mathématique. quand la fonction vaut 0 x y

51 En résumé f(0) : symbole de lordonnée à lorigine Ici, les coordonnées de ce point sont: ( 0, 2 ) f(x) = 0: symbole de labscisse à lorigine Ici, les coordonnées de ce point sont: ( -4, 0 ) Ces deux symboles sont très importants à retenir car ils reviennent dans tous les types de fonctions. Remarque: Labscisse à lorigine est appelée aussi le zéro de fonction car à ce point précis, la fonction est égale à 0, f(x) = 0 x y

52 Conclusion La fonction polynomiale de degré 1, soit la fonction linéaire, sert à représenter certaines situations de la vie courante. Tu devrais visionner cette présentation à quelques reprises pour que lutilisation de toutes les informations vues devienne aussi simple quun réflexe. Cette présentation nous a permis den explorer plusieurs éléments. Beaucoup dinformations ont été présentées; sont très importantes. mais, toutes ces informations


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