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Géométrie analytique Équations dune droite - Forme fonctionnelle (canonique) : y = mx + b - Forme symétrique : x a + y = 1 b - Forme générale : Ax + By.

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1 Géométrie analytique Équations dune droite - Forme fonctionnelle (canonique) : y = mx + b - Forme symétrique : x a + y = 1 b - Forme générale : Ax + By + C = 0

2 Une droite (un segment) peut être représentée par plusieurs formes déquations. La forme fonctionnelle : Elle utilise la penteet lordonnée à lorigine. La forme symétrique : x + y a b = 1 Elle utilise les coordonnées à lorigine. La forme générale : Ax + By + C = 0 Cest lécriture géométrique dune droite. Elle utilise la notion de vecteurs; y = mx + b les paramètres représentent des variations.

3 P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) x y m = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 2 4 = 2 Cette forme déquation peut se déterminer en 2 étapes. 1 ) Déterminer la pente : 2 ) Déterminer lordonnée à lorigine en utilisant la forme théorique de la droite, la pente et un point : y = mx + b y = 2x + b avec le point (2, 5) 5 = 2 X 2 + b 5 = 4 + b 1 = bÉquation : y = 2x + 1 Forme fonctionnelle y = mx + b

4 Tout segment dune droite a la même pente. Cette propriété nous permet de trouver une nouvelle formule pour déterminer léquation dune droite. P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) x y Plaçons un point quelconque et notons-le P. P (x, y) La pente entre le point P et le point P 1 peut se calculer comme suit : m = x1x1 x - y1y1 y - La pente entre le point P 2 et le point P 1 peut se calculer comme suit : m = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 -

5 Tout segment dune droite a la même pente. x1x1 x - y1y1 y - = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - Donc, En remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons : 0 x - 1 y - = x - 1 y - = 2 4 P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) x y P (x, y) 2 (y – 1) = 4 (x – 0) 2 y – 2 = 4 x 2 y = 4 x + 2 y = 2 x + 1 P 1 (x 1, y 1 )P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (0, 1)P 2 (2, )

6 Remarques La forme fonctionnelle est la forme que lon connaît le mieux. Cest la forme utilisée pour exprimer une fonction, car elle est exprimée en fonction de x. Cest la forme la plus facile à utiliser pour tracer une courbe dans le plan cartésien surtout avec une calculatrice à affichage graphique ou une table de valeurs. Elle ne permet pas dexprimer toutes les droites. Exemple P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) x y Un segment vertical a une pente indéterminée, donc on ne peut pas déterminer son équation par la forme fonctionnelle. Dans cette forme, y est isolé.

7 Dans la forme fonctionnelle :y = mx + b La pente est donnée par m. Lordonnée à lorigine est donnée par b. Labscisse à lorigine est donnée par Démonstration On sait que labscisse à lorigine est la valeur de x quand y = 0. Donc, y = mx + b 0 = mx + b - b = mx - b m = x - b m.

8 Forme symétrique x + y a b = 1 P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) x y P (x, y) (0, b) (a, 0) Elle est obtenue en utilisant les coordonnées à lorigine. x1x1 x - y1y1 y - = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - 0 x - b y - = 0 a - b 0 - y - b x = - b a a (y - b) = - bx ay - ab = - bx bx + ay = ab + x a y b = 1 ab P 1 (x 1, y 1 )P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (0, b)P 2 (a, 0)

9 Remarques Dans cette forme, léquation est égale à 1. Dans cette forme : - b est lordonnée à lorigine. - a est labscisse à lorigine; Exemple : x + y 6 5 = 1 x y Elle permet donc de tracer très rapidement la droite dans le plan cartésien.

10 Les coefficients aux numérateurs sont positifs. x + -y 3 2 = 1 Exemple : nest pas encore la forme symétrique, car le numérateur de y est négatif. Il faut rendre ce numérateur positif en positionnant le signe négatif au dénominateur. x + y 3 -2 = 1 La courbe ainsi obtenue sera : y x 1 1 Démonstration Créons un terme équivalent à : -y 2 2 ÷ ÷ = y -2

11 Remarque Dans une fraction, le dénominateur nest jamais négatif Jai mangé 3 morceaux dune tarte découpée en – 5 morceaux??????? Il est plus normal de voir un numérateur négatif Il manque 3 morceaux de la tarte que javais découpée en 5 morceaux. Dans le cas de la forme symétrique, un dénominateur négatif est très significatif. Exemple : x + y 3 2 = 1 Traçons la courbe de x + y 3 -2 = 1 x + y -3 2 = 1 x + y -2 = 1 y x 1 1 Dans la forme symétrique : - les coefficients (numérateurs) de x et y doivent être positifs. - les dénominateurs peuvent être négatifs.

12 - les droites horizontales, car il ny a pas dabscisse à lorigine. La forme symétrique ne permet pas de représenter : x y les droites verticales, car il ny a pas dordonnée à lorigine. - les droites passant pas lorigine, car les termes sont indéterminés. x + y 0 0 = ?

13 Dans la forme symétrique : x + y a b = 1 Lordonnée à lorigine est donnée par b. Labscisse à lorigine est donnée par a. La pente est donnée par Démonstration Prenons la forme symétrique, ramenons-la sous la forme fonctionnelle et isolons y. bx + ay = ab ab bx + ay = ab ay = - bx + ab aaa y = - bx + b a x + y a b = 1 - b a.

14 Forme générale Ax + By + C = 0 x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P(x, y) Elle est obtenue en utilisant la formule suivante : x1x1 x - y1y1 y - = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - On peut représenter La formule devient donc x1x1 x - y1y1 y - = y x y 2 – y 1 par y x 2 – x 1 par x. et

15 Développons : y1)y1) (y - x1)x1)(x- = x y yx - yx 1 = xy - xy 1 Ramenons léquation à zéro : yx - yx 1 - xy + xy 1 = 0 x1x1 x - y1y1 y - = y x Associons les termes dont on ne connaît pas les coordonnées : yx - xy + xy 1 - yx 1 = 0 Remplaçons les variations par des paramètres plus simples : Ax+ By+ C = 0

16 Les paramètres A et B ne correspondent pas aux paramètres a et b des formes fonctionnelle et symétrique. Pour les distinguer, on les écrit en lettres majuscules. Remarques Dans la forme générale dune droite, les paramètres A, B et C représentent des variations. Léquation est égale à zéro. Cest la seule forme pouvant représenter toutes les droites du plan cartésien. Il nest pas facile de tracer la courbe dune droite représentée sous la forme générale.

17 x y Cest la seule forme pouvant représenter toutes les droites du plan cartésien. yx - xy + xy 1 - yx 1 = 0 Ax+ By+ C= 0 Pour une droite horizontale : 0x + By + C = 0By + C = 0 Pour une droite verticale : Ax + 0y + C = 0Ax + C = 0 Pour une droite passant pas lorigine (0, 0) : y = 0 x = 0 xy 1 - yx 1 x0 - y0 = 0 Ax + By + 0 = 0Ax + By = 0

18 Dans la forme générale : Labscisse à lorigine est donnée par Ax + By + C = 0 Démonstration Labscisse à lorigine est la valeur de x quand y = 0. Ax + By + C = 0 Ax + B X 0 + C = 0 Ax + C = 0 Ax = - C x = - C A A.

19 Dans la forme générale : Lordonnée à lorigine est donnée par Ax + By + C = 0 Démonstration Lordonnée à lorigine est la valeur de y quand x = 0. Ax + By + C = 0 A X 0 + By + C = 0 By + C = 0 By = - C y = - C B B.

20 Dans la forme générale :Ax + By + C = 0 Démonstration La pente est donnée par Ax + By + C = 0 Prenons la forme générale, ramenons-la sous la forme fonctionnelle et isolons y. By = - Ax - C BBB y = - Ax - C BB - A B.

21 Passer dune forme à lautre Démarche Faire disparaître les coefficients fractionnaires (sil y en a), en créant une équation équivalente. Pour obtenir :- la forme fonctionnelle, on isole y; - la forme générale, on ramène léquation égale à 0; - la forme symétrique, on isole le terme constant et on ramène léquation égale à 1. y = mx + b Ax + By + C = 0 x + y a b = 1

22 Exemples x + y 5 2 = 1 Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de léquation suivante. Créons une équation équivalente sans dénominateur. 2x + 5y 10 = 2x + 5y = 10 1) On transforme, en premier, chaque membre de léquation en les écrivant tous sur le même dénominateur. 2) On supprime, en deuxième, le dénominateur de chaque côté de léquation. x + y 5 2 = 1 2x + 5y = 10

23 Forme générale : 2x + 5y - 10 = 0 Forme fonctionnelle : 2x + 5y - 10 = 0 5y = -2x + 10 y = -2x ramener léquation égale à 0. ramener léquation égale à y x + 5y = 10

24 Donne la forme générale et la forme symétrique de léquation suivante. y = - 2x + 4 Forme générale :ramener léquation égale à 0. 2x + y - 4 = 0 Forme symétrique : - ramener léquation égale au terme constant : 2x + y = 4 - diviser chaque membre de léquation afin dobtenir un terme constant égal à 1 : 2x + y = simplifier : x + y 2 4 = 1

25 Remarque : Donne la forme symétrique de léquation suivante : y = - 4x + 14 Forme symétrique :4x + y = x + y 714 = 1 Ce nest pas encore la forme symétrique, car le numérateur de x 1. Créons un terme équivalent à : 2x 7 7 ÷ ÷ 2 2 = x 7 2 y x 7/ = 1 Labscisse à lorigine est donc linverse du coefficient de x. 2x 7 7/2 x = x 7 ÷ 2 Une division est une fraction.

26 Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de léquation suivante. y x 5/3 + = 1 - 1/2 Il faut, en premier, transformer les termes contenant les variables. y = - 1/2 x 5/3 = Une fraction est une division. x ÷x ÷ 5 3 = x Xx X 3 5 = 3x3x 5 On multiplie par linverse. y ÷ 2 = -2y X y 2 = 1 y 2 1 = - 1 X

27 Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de léquation suivante. y x 5/3 + = 1 - 1/2 Forme générale : 3x 5 - 2y 1 = x 5 2y = 1 - 3x 5 10y = x - 10y = 5 3x - 10y - 5 = 0 Forme fonctionnelle :-10y = -3 x y = 3x

28 y = mx + b Ax + By + C = 0 x + y a b = 1 - b m mb a ab - C A B - A B En résumé Forme fonctionnelle : Forme générale : Forme symétrique : PenteAbscisse à lorigine Ordonnée à lorigine Remarques : Pour trouver la pente sous nimporte quelle forme, retiens la première colonne Pour déterminer labscisse à lorigine et lordonnée à lorigine sous nimporte quelle forme, retiens leur définition. - abscisse à lorigine : valeur de x quand y = 0. - ordonnée à lorigine : valeur de y quand x = 0. ou ramène léquation sous la forme fonctionnelle. La pente, lordonnée à lorigine et labscisse à lorigine sont trois informations importantes en géométrie analytique.

29 Exemple :pente : m = Abscisse à lorigine : valeur de x quand y = = - 2x 5 = x Ordonnée à lorigine : valeur de y quand x = 0. y = -2x y = -2x = -2x = -2x y = -2x y = -2 X y = 2

30 Exemple :2x + 5y - 10 = 0 Abscisse à lorigine : valeur de x quand y = 0. Ordonnée à lorigine : valeur de y quand x = 0. pente : - A B = x + 5y - 10 = 0 2x + 5 X = 0 2x - 10 = 0 2x = 10 x = 5 2 X 0 + 5y - 10 = 0 5y - 10 = 0 5y = 10 y = 2 ou ramener léquation sous la forme fonctionnelle : 2x + 5y - 10 = 05y = -2x y = -2x x + 5y - 10 = 0

31 Exemple : pente : - b a = ou ramener léquation sous la forme fonctionnelle : x + y 5 2 = 1 x + y 5 2 = 1 2x + 5y = x + 5y = 10 5y = -2x y = -2x

32 Exemples Abscisse à lorigine : valeur de x quand y = 0. Ordonnée à lorigine : valeur de y quand x = 0. x + y 5 2 = 1 x = 1 x 5 = 1 x = 5 x + y 5 2 = y 5 2 = 1 y 2 = 1 y = 2 Remarque :Lhabilité à jouer avec les lois algébriques est importante. x + y 5 2 = 1


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