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Géométrie analytique Distance entre deux points. « Ce qui définit principalement la géométrie analytique, cest le lien quelle établit entre lalgèbre et.

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1 Géométrie analytique Distance entre deux points

2 « Ce qui définit principalement la géométrie analytique, cest le lien quelle établit entre lalgèbre et la géométrie. Dune part, on utilise les lois, méthodes et équations algébriques pour décrire des lieux géométriques ainsi que pour interpréter et résoudre des problèmes géométriques. Dautre part, on exprime les lieux géométriques et leurs propriétés par des équations algébriques. Le cadre dans lequel sétablit cette relation entre un lieu géométrique et une équation algébrique est un système de coordonnées. » Le plan cartésien y joue donc un rôle essentiel. Introduction 1 Lapointe Jacques, Sainte-Marie Monique, Mathématiques, mise à niveau, St-Laurent (Qc), Erpi, 2000, p

3 Ce plan cartésien doit être orthonormé : - les axes doivent être perpendiculaires; - les axes doivent avoir la même graduation si alors Cette condition est essentielle pour que les figures ne soient pas déformées. y x

4 P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) x y P1P1 P2P (2, )5 (7, )3 Le segment suivant a comme origine le point P 1 et comme extrémité le point P 2. Sur ce plan vierge, il est difficile de situer ces deux points. Par contre, si on place le segment dans un plan cartésien, très facilement les mêmes points à laide des axes et des coordonnées. on pourra situer On notera le point P 1 (x 1, y 1 ), car on connaît ses coordonnées. On notera le point P 2 (x 2, y 2 ), car on connaît ses coordonnées. Les indicesservent à associer les coordonnées au point. On notera un point P (x, y) pour généraliser les coordonnées des différents points du segment. P ( x, y ) On pourra ainsi utiliser lalgèbre pour décrire des lieux géométriques.

5 P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) x y P1P1 P2P (2, )5 (7, )3 Un lieu géométrique est un ensemble de points qui ont une propriété commune. Dans lexemple ci-contre, tous les points de ce segment appartiennent à la droite déquation : y = - 0,4 x + 5,8 Cest leur propriété commune. Lensemble de ces points forment donc un lieu géométrique précis, soit ce segment. Remarque : Le point le plus à gauche (par rapport à laxe des x) sera toujours noté P 1.

6 Variation P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) x y Le point P 1 sest déplacé vers le point P 2. Il a donc subi une variation (un déplacement) par rapport à laxe des x. On peut calculer cette variation en reportant les abscisses des points sur laxe des x. x1x1 x2x2 Variation des abscisses : x1x1 x2x2 - Il a également subi une variation par rapport à laxe des y. On peut calculer cette variation en reportant les ordonnées des points sur laxe des y. Variation des ordonnées : y1y1 y2y2 - y1y1 y2y = = -2 Une variation négative est significative. Remarque : La variation est parfois notée par ce symbole :. x : x 2 – x 1 y : y 2 – y 1 V (x 1, x 2 ) : V (y 1, y 2 ) :

7 La variation des abscisses et la variation des ordonnées sont à la base des princi- pales équations et méthodes utilisées en géométrie analytique. P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) x y Ainsi, dans lexemple ci-contre : y : variation des ordonnées : x : variation des abscisses : x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - détermine le taux de variation. Remarque En géométrie analytique, le terme taux de variation est remplacé par la pente (linclinaison du segment) et est noté m. m = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 2 4 = 2

8 Distance entre deux points La distance entre deux points détermine la longueur dun segment. x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P1P1 P2P2 (2, )6 1 3 cas peuvent se présenter : - le segment est parallèle à laxe y; - le segment est parallèle à laxe x; - le segment est oblique. La distance entre 2 points se note d (P 1, P 2 ). x y P 1 (x 1, y 1 )P 2 (x 2, y 2 ) P1P1 (2, 2) P2P2 (5, 2) x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P1P1 (3, 1) P2P2 (6, 5)

9 Segment parallèle à laxe y On calcule la différence des ordonnées en valeur absolue. | y 2 – y 1 | | 1 – 6 | = 5 x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P1P1 P2P2 (2, )6 1 d (P 1, P 2 ) :

10 Remarque En mathématique, la valeur absolue dun nombre réel est sa valeur numérique sans tenir compte de son signe. Plus formellement : A | x | = x si x 0 x є R, | x | = - x si x < 0 Ceci signifie que lorsquun calcul est entre les signes de la valeur absolue : |... |, la réponse est toujours positive. Exemple : | y 2 – y 1 | | 1 – 6 | | - 5 | = 5 Cela nous assure donc un résultat positif. Ce qui est normal, puisque une distance (une longueur) ne peut être négative. | 7 | = 7 | -7 | = 7

11 x y P 1 (x 1, y 1 )P 2 (x 2, y 2 ) P1P1 (2, 3) P2P2 (5, 3) Segment parallèle à laxe x | x 2 – x 1 | | 5 – 2 | = 3 On calcule la différence des abscisses en valeur absolue. d (P 1, P 2 ) :

12 Segment oblique On sait que le plan cartésien orthonormé est composé de deux axes perpendiculaires. En traçant deux segments parallèles aux axes, on forme un triangle rectangle. x y P 1 (x 1, y 1 ) P 2 (x 2, y 2 ) P1P1 (3, 1) P2P2 (6, 5) Le segment P 1 P 2 devient lhypoténuse de ce triangle et chacun des segments tracés, les cathètes. a b c En utilisant la relation de Pythagore, on peut calculer la longueur du segment P 1 P 2. ( x1x1 x2x2 - ) 2 ( y1y1 y2y2 - ) 2 + d (P 1, P 2 ) = c = a2a2 +b2b2 ( ) 2 ( ) 2 + d (P 1, P 2 ) = = = 25 = 5

13 x1x1 x2x2 - x : y1y1 y2y2 - y : x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - | y 2 – y 1 | d (P 1, P 2 ) : | x 2 – x 1 | d (P 1, P 2 ) : En résumé Variation des abscisses : Variation des ordonnées : Pente : - le segment est parallèle à laxe y : - le segment est parallèle à laxe x : - le segment est oblique : Distance entre deux points : ( x1x1 x2x2 - ) 2 ( y1y1 y2y2 - ) 2 + d (P 1, P 2 ) : m = y x =

14 Applications Calcule le périmètre et laire de ce triangle 1) Déterminer les coordonnées de chaque point : A (10, 5) B (15, 30) C (30, 5)D (15, 5) 2)Déterminer les mesures de chaque segment : d ( A, C ) : | x 2 – x 1 | = 20 m d ( B, D ) : | y 2 – y 1 | = 25 m d ( A, B ) : ( x1x1 x2x2 - ) 2 ( y1y1 y2y2 - ) 2 + (1015- ) 2 ) 2 ( = = 650 (graduation en mètre). | 30 – 10 | = | 30 – 5 | = 25,5 m A B C D y x

15 B ( 15, 30 )C ( 30, 5 ) d ( B, C ) : (1530- ) 2 ) 2 ( 5- + d ( B, C ) : ( x1x1 x2x2 - ) 2 ( y1y1 y2y2 - ) 2 + Attention Un nombre au carré est toujours positif. 29,2 m ( - 25 ) 2 d ( B, C ) : d ( B, C ) : 850 d ( B, C ) : A B C D y x

16 m AB 25,5 m m BC 29,2 m m AC = 20 m m BD = 25 m Périmètre : m AB + m BC + m AC 25,5 + 29, ,7 m m AC X m BD 2 = 20 X 25 2 = = 250 m 2 Aire : B X H 2 = Remarque : Dans tous les problèmes de géométrie analytique, la première étape est de déterminer les coordonnées des points A B C D y x


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