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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Algèbre matricielle Algèbre matricielle.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Algèbre matricielle Algèbre matricielle

2 Introduction Cette présentation va vous permettre de revoir les différentes notions présentées dans la partie sur l’algèbre matricielle. Il n’y a pas d’exemples ni d’exercices, seulement des éléments théoriques. Il faut être conscient que les exemples et les exercices sont des interventions dans des cas particuliers à partir d’un cadre général, la théorie. Les exercices peuvent parfois sembler difficiles ou déroutants sans une bonne compréhension de la théorie et de ses éléments clés, les définitions et les théorèmes. Il faut : Penser globalement pour agir localement de façon efficace L’action locale, c’est la résolution de problèmes dans les exercices. Cette action est guidée par la pensée globale, c’est-à-dire la connaissance que l’on a de la théorie. L’efficacité des interventions locales dépend de la qualité des connaissances théoriques. Sans une bonne compréhension du cadre théorique, les procédures de résolution ne sont que des recettes vite oubliées ou mal appliquées.

3 Matrices et opérations Dans cette première section, nous reverrons la notion de matrice et les opérations sur celles-ci.

4 Matrice On appelle matrice tout tableau rectangulaire de la forme : où les a ij sont les éléments de la matrice. L’indice i indique la ligne de l’élément et l’indice j, sa colonne. Ces indices donnent l’adresse de l’élément. On dit qu’une matrice qui comporte m lignes et n colonnes est une matrice de dimension mxn (ce qui se lit m par n). a 12 est l’élément «a «a un deux» et non pas «a «a douze». DÉFINITION a 11 a 21 a m a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn m  n a ij...

5 DÉFINITION Opérations sur les matrices Soit A = (a ij ) et B = (b ij ), deux matrices de même dimension m  n. La somme de ces matrices, notée A + B, est une matrice de dimen-sion m  n définie par : A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) Soit A = (a ij ), une matrice de dimension m  n et k, un scalaire (nombre réel). La multiplication de la matrice A par le scalaire k donne une matrice notée kA et définie par l’égalité : kA = k(a ij ) = (ka ij )

6 DÉFINITION Transposition et produit Soit A = (a ij ), une matrice de dimension m  n. On appelle matrice transposée de A, notée A t, la matrice de dimension n  m dont la i e colonne est la i e ligne de la matrice A pour i = 1, 2,..., m. Soit A = (a ik ) m  p et B = (b kj ) p  n, deux matrices. Le produit de ces matrices, noté A B (ou AB), est une matrice C = (c ij ) m  n dont les éléments c ij sont définis par : c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j a ip b pj, pour tout i et pour tout j.

7 Applications des matrices Dans le cours, on a utilisé les matrices et les opérations sur celles-ci dans les situations suivantes : pour décrire des problèmes de production; pour représenter les systèmes d’équations; pour résoudre des systèmes d’équations selon différents contextes; pour représenter les transformations linéaires -problème de production;-chaînes de Markov; -circuits électriques;-équations chimiques; -combinaisons linéaires;-indépendance linéaire; -positions relatives et intersections de droites et de plans.

8 Systèmes d’équations et matrices Dans cette deuxième section, nous reverrons les notions présentées sur les systèmes d’équations linéaires, homogènes et non homogènes, et l’information que donne la matrice échelon- née sur le type de solution du système.

9 Représentation matricielle Matrice des coefficients Matrice des variables Matrice des constantes = a 11 a 21 a m a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn a ij x1x2xnx1x2xn b1b2bmb1b2bm On peut décrire tout système d’équations linéaires par un produit de matrices. L’équation matricielle doit être sous cette forme pour que l’on puisse appliquer les procédures de résolution présentées dans le cours.

10 Problème de production Matrice des coefficients Matrice des variables Matrice des constantes = a 11 a 21 a m a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn a ij x1x2xnx1x2xn b1b2bmb1b2bm Quantité de chacun des matériaux par unité de chacun des articles à produire Nombre d’unités à produire Quantité totale des matériaux Plusieurs problèmes de production peuvent se représenter par une équation matricielle. Lorsque le nombre d’unités à produire est connu, on doit effectuer le produit des matrices pour déterminer la quantité de matériaux. Lorsque la quantité totale des matériaux disponibles est connue, on doit résoudre un système d’équations linéaires pour déterminer le nombre d’unités que l’on peut produire.

11 Analyse de circuits Matrice des coefficients Matrice des variables Matrice des constantes = a 11 a 21 a m a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn a ij x1x2xnx1x2xn b1b2bmb1b2bm Matrice des résistances Matrice des courants Matrice des tensions Dans l’analyse de circuits par les mailles, on a également des équations matricielles. Lorsque les courants de maille sont connus, on peut calculer les sources de tension nécessaires en effectuant un produit de matrices. Lorsque les sources de tension sont connues, on doit résoudre un système d’équations linéaires pour déterminer les courants de maille. On peut alors déterminer le courant propre à chaque branche.

12 Transformation linéaire Matrice des coefficients Matrice des variables Matrice des constantes = a 11 a 21 a m a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn a ij x1x2xnx1x2xn b1b2bmb1b2bm Coefficients de la transformation linéaire Vecteur préimage Vecteur image On retrouve la même structure dans les transformations linéaires. Lorsque la préimage est connue, on doit effectuer le produit des matrices pour trouver le vecteur image. Lorsque l’image est connue, on doit résoudre un système d’équations linéaires pour déterminer le vecteur préimage.

13 Opérations élémentaires Pour résoudre par la méthode de Gauss, ou par la méthode de Gauss-Jordan, on échelonne en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes. Soit A, une matrice. On appelle opérations élémentaires sur les lignes de A les opérations suivantes : 1. Interchanger la ligne i et la ligne j. Cette opération est notée par : L i  L j 2. Multiplier la ligne i par un scalaire non nul. Cette opération est notée par : L i  aL i, où a  R\{0} 3. Substituer à la ligne i la somme d’un multiple non nul de la ligne i et d’un multiple de la ligne j. Cette opération est notée par : L i  aL i + bL j, où a  R\{0} et b  R Opérations élémentaires sur les lignes

14 Matrice échelonnée On utilise les opérations élémentaires pour déterminer la matrice échelonnée (par la méthode de Gauss) ou la matrice échelonnée ré- duite (par la méthode de Gauss-Jordan). DÉFINITION Une matrice échelonnée réduite est une matrice dont : le pivot de chaque ligne de la matrice des coefficients est 1; le pivot est le seul élément non nul de la colonne où il se trouve. DÉFINITION Une matrice échelonnée est une matrice dont le nombre de zéros précédant le premier élément non nul de chaque ligne augmente de ligne en ligne jusqu’à n’avoir éventuellement que des zéros. Dans une matrice échelonnée, le premier élément non nul de chaque ligne est appelé le pivot de cette ligne – –3 4 0

15 Variables liées et variables libres DÉFINITION Dans un système d’équations linéaires, une variable liée est une variable dont la valeur est constante ou dépend d’une autre variable. Dans la matrice échelonnée d’un système d’équations, les variables liées sont les variables associées au pivot de chaque ligne. Les autres variables sont des variables libres. 1–23– –113 xzy ux est une variable liée. z est une variable liée. y est une variable libre. u est une variable libre.

16 Système d’équations non homogène Un système d’équations linéaires non homogène est un système dont au moins une des constantes est non nulle. Nous avons eu à résoudre des systèmes d’équations linéaires non homogènes dans les situations suivantes : pour analyser un circuit électrique par la méthode des mailles; pour déterminer si un vecteur donné est combinaison linéaire ou est engendré par un ensemble de vecteurs; pour déterminer la préimage d’un vecteur par une transformation linéaire; pour déterminer le point invariant d’une chaîne de Markov; pour déterminer la position relative de droites et de plans dans l’espace. pour analyser les conditions d’équilibre d’un système de forces; pour établir un plan de production, connaissant les quantités de matériaux disponibles;

17 Système d’équations non homogène On rencontre également des systèmes d’équations linéaires non homogènes dont les constantes sont des paramètres. Il faut alors déterminer la condition ou les conditions auxquelles doivent satisfaire les paramètres a, b et c pour que le système ait des solutions. Par exemple : décrire le sous-espace engendré par un ensemble donné de vecteurs; décrire Im T, l’image d’une transformation linéaire. On rencontre ces situations lorsqu’il faut : a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 = abcabc xyzxyz

18 Systèmes non homogènes à deux inconnues Dans un système non homogène de deux équations à deux inconnues, on peut rencontrer trois situations après avoir échelonné la matrice. Matrice échelonnée abc 0de Solution unique Types de solution Types de graphique abc 00e abc 000, où a ≠ 0 et d ≠ 0. Aucune solution, où e ≠ 0. Infinité de solutions autant d’équations que d’inconnues moins d’équations que d’inconnues message d’impossibilité 0 = e ≠ 0 Droites concourantes Droites parallèles Droites confondues

19 Systèmes non homogènes à deux inconnues Un système d’équations non homogène peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et le nombre d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution de ce système. Matrice échelonnée Solution unique Types de solution Types de graphique, où a ≠ 0 et e ≠ 0. Aucune solution, où f ≠ 0. Infinité de solutions autant d’équations que d’inconnues moins d’équations que d’inconnues message d’impossibilité 0 = e ≠ 0 abc def ghi Matrice initiale d’un système non homogène de trois équations à deux inconnues abc 0ef 000 abc 00f 000 abc

20 Types de solution, systèmes à trois inconnues Solution unique SS Lorsqu’il reste autant d’équations que d’inconnues après avoir éche- lonné, on a une solution unique. Les trois plans se rencontrent alors en un même point. abcd 0efg 00hi, où h ≠ 0. Infinité de solutions Lorsqu’il reste moins d’équations que d’inconnues après avoir éche- lonné, on a une infinité de solutions. Les trois plans peuvent être confondus ou avoir une droite comme intersection. abcd 0efg 0000 abcd 0efg 000i Aucune solution Lorsque la matrice échelonnée com- porte une équation impossible, le système n’a aucune solution., où a ≠ 0 et i ≠ 0. Deux des plans peuvent être parallèles distincts. Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes. La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues. Un système d’équations linéaires à trois inconnues peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues ou moins d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution du système.

21 Système d’équations homogène Un système d’équations linéaires homogène est un système dont toutes les constantes sont nulles. Un tel système peut avoir une solution unique ou une infinité de solutions. Lorsque les équations du système ont deux inconnues, ils décrivent des droites passant à l’origine. Ces droites peuvent être concourantes ou confondues. Lorsque les équa- tions du système ont trois inconnues, ils décrivent des plans passant à l’origine. Nous avons eu à résoudre des systèmes d’équations linéaires homogènes dans les situations suivantes : pour balancer des équations chimiques; pour déterminer si les vecteurs d’un ensemble sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants; pour déterminer ker T, le noyau d’une transformation linéaire.

22 Systèmes homogènes à deux inconnues Dans un système homogène de deux équations à deux inconnues, les équations décrivent des droites passant à l’origine. On peut ren- contrer deux situations après avoir échelonné la matrice. Matrice échelonnée ab0 0d0 Solution unique Types de solution Types de graphique ab0 000, où a ≠ 0 et d ≠ 0. Infinité de solutions autant d’équations que d’inconnues moins d’équations que d’inconnues Cette solution est (0; 0), on l’appelle la solution triviale. On exprime les solutions en fonction de la variable libre.

23 Systèmes homogènes à deux inconnues Un système d’équations homogène peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et le nombre d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution de ce système. Matrice échelonnéeTypes de solution Types de graphique, où a ≠ 0 et d ≠ 0. ab0 0d0 000 ab ab0 cd0 ef0 Matrice initiale d’un système homogène de trois équations à deux inconnues Solution unique Infinité de solutions autant d’équations que d’inconnues moins d’équations que d’inconnues Cette solution est (0; 0), on l’appelle la solution triviale. On exprime les solutions en fonction de la variable libre.

24 Systèmes homogènes à trois inconnues Dans un système homogène à trois inconnues, les équations décrivent des plans passant à l’origine, (0; 0; 0), qui est toujours une solution. Lorsque le système homogène échelonné comporte autant d’équa- tions que d’inconnues, c’est la seule solution. On l’appelle la solution triviale. Lorsque le système homogène échelonné comporte moins d’équa- tions que d’inconnues, il y a infinité de solutions qu’il faut décrire en représentant les variables libres par des paramètres et en exprimant les variables liées en fonction de ces paramètres.

25 Déterminant Dans cette troisième section, nous reverrons la notion de déterminant et les différentes utilisations qui en ont été faites dans le cours.

26 Développement de Laplace DÉFINITION Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est défini symbo- liquement de la façon suivante : Pour un développement selon une ligne p quelconque : det A = a p1 C p1 + a p2 C p a pn C pn Pour un développement selon une colonne r quelconque : det A = a 1r C 1r + a 2r C 2r a nr C nr Remarque Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n est obtenu en effectuant la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) quelconque par son cofacteur.

27 Procédure Calcul et propriétés pour calculer un déterminant à l’aide des propriétés 1.Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire apparaître des zéros. 2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de lignes) : C i  C i + kC j, où k  R ou L i  L i + kL j, où k  R 3.Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne) conte- nant les zéros. 4.Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant d’ordre n – 1.

28 Déterminant et systèmes d’équations Lorsqu’un système d’équations linéaires comporte autant d’équa- tions que d’inconnues, on peut calculer le déterminant de la matrice des coefficients du système, puisque cette matrice est carrée. Pour un système de trois équations à trois inconnues, on a alors : Si det A ≠ 0 Système (0; 0; 0) non homogène Solution unique Si det A = 0 Système non homogène Infinité de solutions Infinité de solutions Aucune solution ou Un triplet (a; b; c)c)

29 Méthode de Cramer Théorème Soit un système de trois équations à trois inconnues : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 12 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Ce système admet une solution unique (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (k 1 ; k 2 ; k 3 ) si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est différent de 0 et cette solution est : b1b2b3b1b2b3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 k 1 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 b1b2b3b1b2b3 a 13 a 23 a 33, k 2 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 b1b2b3b1b2b3 et k 3 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33

30 Méthode de Cramer Procédure pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par la méthode de Cramer 1.Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0. 2.Construire et calculer le déterminant associé à la i e inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det A i, où i est la colonne associée à la i e inconnue (i = 1,..., n). 3.Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : x i = (det A i )/(det A). 4.Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système.

31 Applications du déterminant Dans le cours, on a calculé un déterminant dans les situations suivantes : pour déterminer si un système d’équations linéaires comportant autant d’équations que d’inconnues a une solution unique ou non; pour résoudre un système d’équations par la méthode de Cramer; pour déterminer si trois vecteurs de R 3 sont linéairement indépen- dants ou linéairement dépendants; pour déterminer si trois vecteurs de R 3 sont coplanaires ou non; pour déterminer si une transformation linéaire est inversible ou non; pour déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans R 3 ; pour déterminer le produit mixte de trois vecteurs dans R 3 ; pour calculer le volume d’un parallélépipède; pour trouver l’équation d’un plan passant par trois points connus; pour calculer des distances dans R 3.

32 Matrice inverse Dans cette quatrième section, nous reverrons les procédures pour déterminer une matrice inverse et l’utilisation que l’on peut en faire pour résoudre un système d’équations linéaires ou pour déterminer une transformation linéaire inverse.

33 Matrice inverse DÉFINITION Soit A, une matrice carrée d’ordre n. On appelle matrice inverse de A, si elle existe, la matrice A –1 telle que : A A –1 = A –1 A = I où I est la matrice identité d’ordre n.

34 Procédure de Gauss-Jordan Procédure pour construire la matrice inverse 1.Construire une matrice augmentée dont la partie gauche est la matrice à inverser et la partie droite, la matrice identité du même ordre. 2.Effectuer les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice échelonnée réduite dans la partie gauche de la matrice augmentée. 3.Écrire la matrice inverse lorsque celle-ci existe. 4.S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A A –1 = I.

35 Procédure de la matrice adjointe Procédure pour construire la matrice inverse 1.Calculer le déterminant de A pour déterminer si la matrice A est inversible. 2.Construire la matrice des cofacteurs (cof A). 3.Transposer la matrice des cofacteurs pour obtenir la matrice adjointe (adj A = (cof A) t ) et multiplier cette matrice par le scalaire 1/det A pour obtenir la matrice inverse. 4.S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que A A –1 = I ou encore en vérifiant que A (adjA) = (det A)I.

36 Matrice inversible Théorème Critère d’inversibilité d’une matrice Soit A, une matrice carrée. A est inversible si et seulement si : det A ≠ 0 Unicité de la matrice inverse Soit A, une matrice carrée. Si A est inversible alors l’inverse de A est unique.

37 Matrice inverse et système d’équations linéaires Soit un système d’équations linéaires représenté sous forme matricielle par A X = B, où A est une matrice carrée d’ordre n inversible. On peut alors multiplier des deux côtés de l’égalité par la matrice inverse A –1. Cela donne : A –1 A X = A –1 B Par conséquent, en multipliant la matrice des constantes B par A –1, la matrice inverse de A, on isole la matrice des inconnues X, cela donne la solution du système d’équations linéaires. d’où : I X = A –1 B, puisque A –1 A = I et :X = A –1 B, car I X = X

38 Applications de la matrice inverse Dans le cours, on a utilisé la matrice inverse dans les situations suivantes : pour résoudre un système d’équations linéaires comportant autant d’équations que d’inconnues et dont le déterminant de la matrice des coefficients est non nul; pour déterminer le point invariant d’une chaîne de Markov; pour décoder un message qui a été codé par une matrice; pour analyser un circuit électrique par la méthode des mailles; pour déterminer la règle de correspondance d’une transformation linéaire dont on connaît l’effet sur une base; pour déterminer une transformation linéaire inverse.

39 Conclusion Cette présentation avait pour but de rappeler certains éléments importants de la partie sur l’algèbre matricielle et des applications qui ont été faites de ces notions dans l’ensemble du cours. Vous devriez normalement avoir identifié, grâce à cette présentation, les notions et applications que vous ne maîtrisez pas. Il est important pour votre préparation à l’examen synthèse que vous preniez le temps de relire les exemples et refaire des exercices sur les notions et applications que vous ne maîtrisez pas.

40 Exercices de synthèse Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Chapitre 13.


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