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Intégrale double Elaboré par M. NUTH Sothan. I- Notion de l’intégrale double 1. Calculer l’aire d’un trapèze curviligne : ∆x i f(x i ) ab0x y.

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1 Intégrale double Elaboré par M. NUTH Sothan

2 I- Notion de l’intégrale double 1. Calculer l’aire d’un trapèze curviligne : ∆x i f(x i ) ab0x y

3 Notion de l’intégrale double (suite) s’appelle la somme de Riemann de f(x). 2. Calculer le volume d’un corps limité en haut par une surface continue : z=f(x, y) ( f(x, y) ≥ 0 ) en bas par le domaine fermé borné S du plan XOY.

4 Notion de l’intégrale double (suite) La somme : représente le volume d’un corps qui s’appelle la somme de Riemann bidimensionnelle étendue à un domaine S de f(x, y). Soit d i le diamètre de ∆S i. Soit d = max d i

5 Notion de l’intégrale double (suite) On obtient : On a : où f(x, y) est intégrable.

6 Notion de l’intégrale double (suite) Th1: Si S est un domaine borné et fermé à frontière ℾ lisse par morceaux et si f(x, y) est continue sur ce domaine S, l’intégrale double : Comme (6) est la somme bidimensionnelle, on a : ∆S ij = ∆x i ∆y j et ds = dx dy (7)

7 Notion de l’intégrale double (suite) On obtient : où (x i, y j ) ∈ ∆S ij

8 II- Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires : Soit le domaine d’intégration S représente un trapèze curviligne : a ≤ x ≤ b, y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x) (1) où y 1 (x) et y 2 (x) sont continues sur [a, b]. (1)s’appelle le domaine standard par rapport à l’axe OY. Soit f(x, y) continue sur S. Alors, l’intégrale double est

9 Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): y 0 x a bx M2M2 M1M1 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 y = y 2 (x) y = y 1 (x) S y2y2 y1y1

10 Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): 1. Supposons que f(x, y) ≥ 0 dans S. Soit σ(x) l’aire de la section de cylindroïde par le plan M 1 M 2 M’ 2 M’ 1  Ox au point x ∈ [a, b]. Donc ou

11 Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): Où continue sur [a, b]. On obtient :

12 Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): z 0 y a z=f(x, y) x M1M1 M2M2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 y = y 2 (x) S σ(x) b y = y 1 (x) A’ 2 A’ 1 B’ 1 B’ 2 M’ 1 M’ 2 x

13 Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): 2. Soit le domaine d’intégration S représente un trapèze curviligne : c ≤ y ≤ d, x 1 (y) ≤ x ≤ x 2 (y) (6) où x 1 (y) et x 2 (y) sont continues sur [c, d]. (6) s’appelle le domaine standard par rapport à l’axe OX. Soit f(x, y) continue sur S. Alors, l’intégrale double est

14 Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): y 0 x c d x M1M1 M2M2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 x = x 2 (y)x = x 1 (y) S

15 Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): 3. Soit le domaine d’intégration S représente un trapèze curviligne : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d (8) Soit f(x, y) continue sur S. Alors, l’intégrale double est ou

16 Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): y 0 x c d x M2M2 M2M2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 S a b

17 Remarque : Si le domaine d’intégration S n’est par standard, on subdivise en S 1, S 2,..., S p. Alors, l’intégrale double est

18 Exemples : Ex.1: Calculer l’intégrale : où S : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Ex.2: Calculer l’intégrale : où S : 0 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 3. Ex.3: Calculer l’intégrale : où S est un triangle de sommets O(0, 0), A(2, 0) et B(2, 1). Alors S: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x/2.

19 Exemples Ex.4: Intervertir l’ordre des intégrations dans l’intégrale itérée : Ex.5: Mettre les limites d’intégration dans l’intégrale : où S: x 2 + y 2 = 1 et x 2 + y 2 = 4

20 III- Intégrale double en coordonnée polaires: Soit Passons en coordonnée polaire r=r( φ), On pose : x= r cos φ, y= r sin φ (2) On obtient:

21 III- Intégrale double en coordonnée polaires (suite): Où le jacobien

22 III- Intégrale double en coordonnée polaires: On obtient:

23 Exemples: Ex. : Passer aux coordonnées polaires les domaines suivantes: 1.x 2 + y 2 = R 2. 2.x 2 + y 2 ≤ ax. 3.x 2 + y 2 ≤ by. 4.x 2 + y 2 = 4x, x 2 + y 2 = 8x, y = x, y = 2 x. 5.x 2 + y 2 ≤ ax, x 2 + y 2 ≤ by. 6.(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 - y 2 ). 7.(x 2 + y 2 ) 3 ≤ 4a 2 x 2 y 2. x ≥ 0, y ≥ 0.

24 III- Intégrale double en coordonnée polaires (suite): En général: On pose: x= x(u, v), y=y(u, v) Alors:

25 III- Intégrale double en coordonnée polaires (suite): On obtient:

26 Exemples: Ex. : Calculer l’intégrale: où S : y = x + 1, y = x – 3, y = −1/3x + 7/3, y = −1/3x + 5. On peut poser : u = y – x, v = y + 1/3x. Dans les coordonnées Ouv, on a : S : u = 1, u = − 3, v = 7/3, v = 5 on obtient : x = − 3/4u + 3/4v, y = 1/4u + 3/4v. et J = − 3/4.

27 Exemples: On a :

28 IV- Intégrale d’Euler-Poisson: Calculer l’intégrale d’Euler-Poisson : Comme l’intégrale définie ne dépende pas de la désignation de la variable, on peut écrire :

29 IV- Intégrale d’Euler-Poisson (suite): En multipliant (1) et (2), on obtient : où S : 0 ≤ x < + , 0 ≤ y < + . En passant aux coordonnées polaires, on obtient :

30 IV- Intégrale d’Euler-Poisson (suite): Comme I est positif, on en déduit que : et enfin :

31 V- Théorème de la moyenne: Soit f(x, y) est continue dans un domaine fermé borné S. Soit : Donc :

32 V- Théorème de la moyenne (suite): Soit : Quand d → 0, on obtient : En suite : On note : qui s’appelle la valeur moyenne de f(x, y) dans S.

33 V- Théorème de la moyenne (suite): D’après (3), on peut écrire : Ex. : Evaluer l’intégrale où S : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. On a :

34 V- Théorème de la moyenne (suite): Puisque S=1, on a : 0 ≤ I ≤ ≈ 1,41. Alors : I ≈ (0+1,41)/2 ≈0,71. Et la valeur exacte de cette intégrale : I =[ +ln(1+ )]/3 ≈0,79.

35 VI- Application géométrique de l’intégrale double: 1. Volume limité en haut par la surface z=f(x, y) et en bas par le domaine S du plan XOY. Soit z=f(x, y) continue sur S où S={a ≤ x ≤ b, y 1 (x) ≤ y ≤ y 1 (x) }

36 VI- Application géométrique de l’intégrale double (suite): 2. Surface de domaine S du plan XOY. Soit f(x, y)=1 où S={a ≤ x ≤ b, y 1 (x) ≤ y ≤ y 1 (x) }

37 VI- Application géométrique de l’intégrale double (suite): 3. L’aire de surface z= f(x, y). où D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le plan Oxy.

38 Exemple : Ex. 1 :Calculer l’aire de la portion de plan : comprise entre les plans de coordonnées.

39 Exemple : Ex. 2 :Calculer l’aire de surface d’une sphère de centre O(0, 0, 0) et de rayon R. On a : où D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le plan Oxy.

40 Exemples: Ex.3: Calculer l’aire de surface limité par les courbes suivantes : x y 0 y=x (3, 3)

41 Exemples: Ex.2: Calculer le volume limité par le plan z=x, le cylindre x 2 + y 2 = 4 et le plan XOY : y x z 0

42 Exemples: Ex.3: Calculer le volume du corps limité par les surfaces z=x 2, z=0, x=0, y=0, x+y=1. Ex.4: Calculer l’aire de surface limité par les courbes : y=a 2 /x, y=2a 2 /x,(a > 0) et les droites : x=1, x=2.


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