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Elaboré par M. NUTH Sothan. 1. Longueur d’une courbe : Soit x, y, z des coordonnées cartésiennes. Soit L une courbe continue sur [a, b] donnée par : x=

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1 Elaboré par M. NUTH Sothan

2 1. Longueur d’une courbe : Soit x, y, z des coordonnées cartésiennes. Soit L une courbe continue sur [a, b] donnée par : x= φ(t), y= ψ(t), z= χ(t), ( a ≤ t ≤ b) (1) Définition : On dit qu’une courbe L est lisse (ou différentiable) si φ(t),ψ(t) et χ(t) admettent des dérivées premières continues sur [a, b].

3 Soit le rayon vecteur du point (x, y, z) Considérons : La relation (1) peut être mises sous forme : où est continue sur [a, b]. Donc la courbe L est définie par (1) ou (2).

4 Définition : On dit qu’un point, t 1 ∈ [a, b], d’une courbe L est double si ∃ t 1 ≠ t 2 ( t 2 ∈ [a, b]) tel que. Soit T={t 0, t 1,..., t n } une subdivision de [a, b]. Considérons la ligne polygonale de sommet : inscrite dans la courbe L.

5 On a : la longueur de cette ligne. Définition : La longueur de courbe L sur [a, b] est : Th : La longueur de courbe L sur [a, b] est :

6 Remarque : 1. Si L : x= φ(t), y= ψ(t), z= χ(t), ( a ≤ t ≤ b), alors : 2. Si L : x= φ(t), y= ψ(t), ( a ≤ t ≤ b), alors :

7 Remarque : 3. Si L : y=f(x), ( a ≤ x ≤ b), alors :

8 Exemples : Si L : x=a cos t, y= a sin t, z= bt, ( 0 ≤ t ≤ 2 π ), alors :

9 Définition : Soit L : x= φ(t), y= ψ(t), z= χ(t), ( a ≤ t ≤ b), alors : La courbe différentiable L est régulière si ou

10 Remarque : Les points de la courbe en lesquels sont dits singuliers. Définition : Soit f(x, y, z) définie sur L. L’intégrale curviligne de première espèce de la fonction f(x, y, z) le long de la courbe L est

11 Cas 1 : L : x= φ(t), y= ψ(t), z= χ(t), ( a ≤ t ≤ b), et f(x, y, z) définie sur L, alors :

12 Cas 2 : L : x= φ(t), y= ψ(t), ( a ≤ t ≤ b), et f(x, y) définie sur L, alors :

13 Cas 3 : L : y=y(x), ( a ≤ x ≤ b), et f(x, y) définie sur L, alors :

14 Cas 4 : L : r=r(  ), (  1 ≤  ≤  2 ),, et f(x, y) définie sur L, alors :

15 Remarque 1 : Remarque 2 : Exemple 1 : Calculer l’intégrale curviligne : Indication : x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, 0  t  2 

16 Exemple 2 : Calculer l’intégrale curviligne : Indication : Passer aux coordonnées polaire.

17 Définition : On appelle courbe orientée sur laquelle on a choisi l’une de deux orientations possibles. Soit un champ de vecteurs continu sur une courbe régulière différentiable L.

18 Définition : L’intégrale curviligne de second espèce du champ de vecteurs le long de la courbe L. Si la courbe régulière différentiable L est orientée par t croissant, alors

19 Si la courbe régulière différentiable est orientée par t croissant, alors

20 Si la courbe régulière différentiable L est orientée par t décroissant, alors

21 Remarque 1 : L’intégrale (2) peut être mise en forme : où. Soit un vecteur unité tangent à la courbe L.

22 Alors :

23 Remarque 2 : Si L est traitée comme la trajectoire d’un point matériel et le vecteur comme la force agissant sur ce point, alors l’intégrale curviligne de second espèce représente le travail de la force le long de la trajectoire L.

24 Définition : Un champ de vecteur est dit potentiel si  U(X) dérivable tel que pour x ∈ X. Dans ce cas, U(X) s’appelle potentiel de

25 D’après (3), on a : et où

26 Th.1 : Si U 1 (X) et U 2 (X) sont des potentiels de défini sur X ouvert, alors U 1 (X) − U 2 (X) = Const. Th.2 : Pour qu’un champ de vecteur dérivable et défini sur X ouvert soit potentiel, il est N. et S. que pour x ∈ X.

27 Remarque 1 : Soit Pour que soit potentiel, il est N. et S. que : Remarque 2 : Soit. Pour que soit potentiel, il est N. et S. que :

28 Th.3 : Soit un champ de vecteur potentiel sur G et soit U(x, y, z) son potentiel. Si L est une courbe R.D. continue dans G et reliant de point A(x 1, y 1, z 1 ) vers B(x 2, y 2,z 2 ), alors :

29 Autrement dit que l’intégrale curviligne ne dépend pas du chemin suivi. Remarque : Soit T={t 0, t 1,..., t n } une subdivision de [a, b] tel que L i arc de courbe L compris entre et, i = 0, 1, 2,..., n-1. Alors :

30 1. Formule de Green : Soit D={(x, y); y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x), a ≤ x ≤ b} un trapèze curviligne continu dans G. Soient P(x, y) et Q(x, y) sont continues dans G avec ses dérivées partielles.

31 D y x 0 y=y 1 (x) y=y 2 (x)F a E B A b

32 On a :

33 Alors : Or : Analogiquement :

34 En soustrayant (1) et (2) : qui s’appelle formule de Green. Soit C un contour fermé contenant G, D l’ensemble des points intérieur à C, et D ⊂ G.

35 Th.1 :Supposons que P(x, y) et Q(x, y) est continues avec ses dérivées dans un domaine simplement connexe. On a : où le contour C est parcouru dans le sens direct.

36 Remarque : Si l’on pose P = y et Q = 0. D’après (4), on obtient la formule pour l’aire du D : Analogiquement, si P = 0 et Q = x, on trouve :

37 L’addition (5) et (6), nous donne une formule pour le calcul de l’aire.

38 2. Condition de potentialité : Soit un champ de vecteur continu dans G. Th.2 : est potentiel dans G s.s.s. Th.3 : est potentiel dans G s.s.s. dans G.

39 Ex. : G={(x, y), x 2 + y 2 > 0} non simplement connexe. Posons : x = r cos t, y = r sin t, 0 ≤ t ≤ 2 

40 Th.4 : Soit continue sur AB : x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b. Soit la direction de la tangente à AB en M(x, y).

41 Calculer les intégrales curvilignes de 1er espèce :

42 Calculer les intégrales curvilignes de 2 ème espèce : 1., où O(0, 0), A(1, 1) : a. une droite. b. une parabole x = y

43 Calculer les intégrales curvilignes de 2 ème espèce en utilisant la formule de Green :


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