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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Intégrale définie Intégrale définie.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Intégrale définie Intégrale définie

2 Introduction Il nous faut réfléchir sur la définition daire sous la courbe dune fonction non négative f posée dans la présentation précédente. Nous avons testé cette définition à laide de fonctions polynomiales, en considérant toujours une partition régulière. où P = {x 0, x 1, x 2, …, x n } est une partition de [a; b], i = 1 n f(c i ) x i A [a; b] = lim (maxx i ) 0 c i [x i–1 ; x i ] et x i = x i – x i–1 Nous généraliserons maintenant à toute fonction continue, mais nous devons dabord traiter la question de lexistence de la limite dune telle somme.

3 Fonction intégrable S - Définition Fonction intégrable au sens de Riemann Soit f, une fonction définie sur [a; b] et P = {x 0, x 1, x 2, …, x n } une partition quelconque de [a; b]. Alors f est dite intégrable au sens de Riemann (ou simplement intégrable) sur [a; b] si la limite suivante existe : i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 f(x) dx = a b Si f est intégrable sur [a; b], alors lintégrale définie de f sur [a; b] est définie par :, où c i [x i–1 ; x i ] REMARQUE : Si f est non négative sur [a; b], lintégrale définie donne laire sous la courbe. La valeur de a est appelée borne inférieure de lintégration et b, borne supérieure de lintégration.

4 Intégrale définie et indéfinie S Il faut distinguer intégrale définie et intégrale indéfinie. i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 f(x) dx = a b, où c i [x i–1 ; x i ] Lintégrale définie est un nombre réel qui est la limite dune somme : Lintégrale indéfinie est une famille de fonctions, les primitives de la fonction f. f(x) dx = F(x) + k, où F '(x) = f(x) Dans cette présentation, nous établirons la relation entre lintégrale définie et lintégrale indéfinie grâce au théorème fondamental du calcul différentiel et intégral. Quelques théorèmes préalables nous seront utiles.

5 Théorème des valeurs extrêmes SS Le minimum et le maximum absolus peuvent être atteints aux frontières de lintervalle [a; b]. Théorème des valeurs extrêmes Soit f, une fonction continue sur [a; b]. Alors : il existe au moins un c [a; b] tel que f(c) soit égale au minimum absolu de f sur [a; b] et; il existe au moins un d [a; b] tel que f(d) soit égale au maximum absolu de f sur [a; b]. Le minimum et le maximum absolus peuvent être des extremums relatifs.

6 Théorème de Fermat SS On se souvient de ce théorème on lutilisait dans lanalyse des points critiques dune fonction pour détecter les extremums relatifs. Théorème de Fermat Soit f, une fonction telle que : f est continue sur [a; b]; f est dérivable sur ]a; b[; c ]a; b[, où (c; f(c)) est un point de maximum (ou de minimum) relatif ou absolu de f; alors, f '(c) = 0. On se souvient également que le théorème ne permettait pas de détecter tous les extremums relatifs. c REMARQUE : La fonction nest pas dérivable à x = c. Le théorème de Fermat ne sapplique pas.

7 Théorème de Rolle SS Distinguons deux cas, selon que la fonction est constante ou non dans lintervalle [a; b]. Théorème de Rolle Soit f, une fonction telle que : f est continue sur [a; b]; f est dérivable sur ]a; b[; f(a) = f(b), alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que f '(c) = 0. Si la fonction est constante sur [a; b]. Alors, elle est de la forme f(x) = k, où k R. Par conséquent. f '(x) = 0 pour tout x ]a; b[ et f '(c) = 0 quel que soit c ]a; b[. Si la fonction nest pas constante sur [a; b]. Daprès le théorème des valeurs extrêmes, la fonction possède un minimum absolu et un maximum absolu sur [a; b]. Soit c ]a; b[, tel que (c; f(c)) est un point de maximum (ou de minimum), alors f '(c) = 0 par le théorème de Fermat. Puisque la fonction nest pas constante et que f(a) = f(b), elle a un minimum absolu ou un maximum absolu dans lintervalle ]a; b[. Ce qui démontre le théorème de Rolle. REMARQUE : Le théorème indique quil y a au moins un point dans ]a; b[ où la tangente est horizontale, mais il peut y en avoir plus dun. S

8 Exemple SS Déterminer si la fonction définie par f(x) = x 2 + x satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [–1; 1]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. La fonction est une polynomiale, elle est donc continue sur R et, en particulier, sur [–1; 1]. Elle est dérivable sur R et en particulier sur ]–1; 1[. De plus, f(–1) = 3 = f(1). Les conditions sont satisfaites et le théorème de Rolle sapplique. Il existe au moins un nombre –1 < c < 1 tel que f '(c) = 0. La dérivée de f est : f '(x) = 2x + 1 et : 2x + 1 = 0 donne x = –1/2 La valeur prédite par le théorème de Rolle est c = –1/2.

9 Exercice SS Déterminer si la fonction définie par f(x) = sin x satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [0; 2π]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. La fonction est continue sur R, donc sur [0; 2π]. Elle est dérivable sur R, donc sur ]0; 2π[. De plus, f(0) = 0 = f(2π). Les conditions sont satisfaites et le théorème de Rolle sapplique. Il existe au moins un nombre 0 < c < 2π tel que f '(c) = 0. La dérivée de f est : f '(x) = cos x et : cos x = 0 à π/2 et à 3π/2 Les valeurs prédites par le théorème de Rolle sont c 1 = π/2 et c 2 = 3π/2.

10 Exercice SS Déterminer si la fonction définie par f(x) = 1/x 2 satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [–2; 2]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. La fonction nest pas continue sur [–2; 2]. En effet, elle a une trou à linfini à x = 0 (limite de la forme c/0). Lune des conditions nest pas satisfaite et le théorème de Rolle ne sapplique pas. On ne peut rien prédire. Le graphique permet cependant de conclure quil nexiste pas de valeur de c dans [–2; 2] telle que f '(c) = 0

11 Exercice SS Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction est donc continue sur R et, en particulier, sur [–8; 8]. La fonction nest pas dérivable à x = 0 ]–8; 8[, car : Lune des conditions nest pas satisfaite et le théorème de Rolle ne sapplique pas. Déterminer si la fonction définie par f(x) = x 2/3 satisfait aux conditions du théorème de Rolle sur [–8; 8]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. f '(x) = –1 3x 1/3 et le domaine de f ' est R\{0}.

12 Théorème de Lagrange S Ce théorème affirme que si la fonction est continue et dérivable sur lintervalle alors il existe un point (c; f(c)) où la tangente est parallèle à la sécante passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)). Théorème de Lagrange (ou de la moyenne) Soit f, une fonction telle que : f est continue sur [a; b]; f est dérivable sur ]a; b[; alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que : f '(c) = f (b) – f (a) b – a REMARQUE : Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème de Lagrange. En effet, si f(a) = f(b), la pente de la sécante est 0.

13 SS Notons g, la fonction dont le graphique est la sécante à la courbe de la fonction f passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)). f (b) – f (a) b – a La pente de cette sécante est : et la fonction g est définie par léquation de la droite : g(x) = f(a) + (x – a) f (b) – f (a) b – a Définissons la fonction H dont limage pour une valeur de x dans lintervalle [a; b] est la distance verticale entre la courbe de f et celle de g. On a alors : H(x) = f(x) – g(x), pour x [a; b] Par substitution, on obtient : H(x) = f(x) – f(a) + (x – a) f (b) – f (a) b – a Démonstration du théorème de Lagrange H(x)H(x) Vérifions que cette nouvelle fonction satisfait aux hypothèses du théorème de Rolle. 1.H est continue sur [a; b] car la somme de deux fonctions continues est continue. 2.H est dérivable sur [a; b] car la somme de deux fonctions dérivables est dérivable. 3.Puisque f(a) = g(a), on a H(a) = 0. De la même façon, H(b) = 0, et H(a) = H(b). Les hypothèses sont satisfaites, le théorème de Rolle sapplique. On peut conclure quil existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que H '(c) = 0 La dérivée de H est : H '(x) = f '(x) – f (b) – f (a) b – a S Limage de c est : H '(c) = f '(c) – f (b) – f (a) b – a = 0 Doù : f '(c) = f (b) – f (a) b – a Ce qui complète la démonstration.

14 Exemple SS Déterminer si la fonction définie par f(x) = 3x – x 2 satisfait aux conditions du théorème de Lagrange sur [1; 4]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. La fonction est une polynomiale, elle est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 4]. Elle est dérivable sur ]1; 4[. Les conditions sont satisfaites et le théorème de Lagrange sapplique. La dérivée de f est f '(x) = 3 – 2x et : 3 – 2x = –2 donne x = 5/2 La valeur prédite par le théorème de Lagrange est c = 5/2. La pente de la sécante est : f (4) – f (1) 4 – 1 = –4 – 2 4 – 1 = –2

15 Exercice SS Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction f est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 4]. Cependant, la fonction nest pas dérivable à x = 2 ]1; 4[, car : Puisque lune des conditions nest pas satisfaite, le théorème de Lagrange ne sapplique pas. Déterminer si la fonction définie par f(x) = (x – 2) 2/3 satisfait aux conditions du théorème de Lagrange sur [1; 4]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas échéant. et le domaine de f ' est R\{2}. f '(x) = –1 3(x – 2) 1/3 Il ny a pas de point (c; f(c)) sur lintervalle [1; 4] tel que la tangente en ce point soit parallèle à la sécante passant par les points aux extrémités de lintervalle [1; 4].

16 Théorème fondamental S Démonstration Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral Soit f, une fonction continue sur un intervalle [a; b] et F, lune de ses primitives sur [a; b], alors : Considérons une partition P = {x 0, x 1, x 2,..., x n–1, x n } de lintervalle [a; b], où x 0 = a et x n = b. Ces valeurs subdivisent lintervalle [a; b] en n sous-intervalles : f(x) dx = F(b) – F(a) a b [a; x 1 ], [x 1 ; x 2 ], [x 2 ; x 3 ], …, [x i–1 ; x i ],..., [x n–1 ; b] dont les longueurs sont : x 1, x 2, x 3,...x i,...x n On peut alors exprimer F(b) – F(a) par la somme télescopique : F(b) – F(a) = [F(x 1 ) – F(a)] + [F(x 2 ) – F(x 1 )] [F(b) – F(x n–1 )]

17 Démonstration du théorème fondamental S Démonstration Par hypothèse, F est une primitive de f, on a donc : F '(x) = f(x) pour tout x dans lintervalle [a; b] Considérons le premier sous-intervalle, [a; x 1 ]. Puisque la fonction F est dérivable sur cet intervalle, par le théorème de Lagrange, il existe une abscisse c 1 dans lintervalle telle que : F(x 1 ) – F(a) = F '(c 1 ) (x 1 – a) De la même façon, dans chaque sous-intervalle, [x i–1 ; x i ], on peut trouver une abscisse c i telle que : F(x i ) – F(x i–1 ) = F '(c i ) (x i – x i–1 ) On peut donc écrire la somme télescopique de F(b) – F(a) sous la forme : F(b) – F(a) = F '(c 1 ) (x1 (x1 – a) + F '(c 2 ) (x2 (x2 – x 1 )... + F '(c i ) (xi (xi – x i–1 ) F '(c n ) (b (b – x n–1 )

18 Démonstration du théorème fondamental S Démonstration De plus, puisque x i = x i – x i–1 et F '(x) = f(x), on a : F(b) – F(a) = F '(c 1 ) x 1 + F '(c 2 ) x F '(c i ) x i F '(c n ) x n = f (c 1 ) x 1 + f (c 2 ) x f (c i ) x i f (c n ) x n En utilisant le symbole de sommation, on obtient alors la somme de Riemann suivante : Supposons que le nombre n de sous-intervalles saccroît à linfini et que la largeur du plus grand de ceux-ci tend vers 0. Le membre de gauche de cette égalité est constant et indépendant de n alors que le côté droit tend vers lintégrale définie dans lintervalle [a; b]. On a donc : Ce qui complète la démonstration. i = 1 n f(c i ) x i F(b) – F(a) = i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 f(x) dx a b =

19 Visualisation du théorème S Considérons les fonctions : F '(x) = f(x) = 18x – 3x 2 i = 1 4 f(c i ) x i F(b) – F(a) = F(b) – F(a) f(x) dx a b = F(x) = x 2 – x 3 sur lintervalle [0; 6]. Déterminons une partition. Par le théorème de Lagrange : A1A1 f(c1 f(c1 ) x 1 A2A2 A3A3 A4A4 c1c1 c2c2 f(c2 f(c2 ) x 2 f(c3 f(c3 ) x 3 f(c4 f(c4 ) x 4 c3c3 c4c4 i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 = Et, à la limite : F(b) – F(a) f(x) dx a b = A

20 Calcul de laire Procédure pour calculer lintégrale indéfinie 2.Déterminer les bornes dintégration lorsquelle ne sont pas précisées. 3.Déterminer une primitive F(x) de lintégrande f(x). 4.Évaluer la différence F(b) – F(a). Notation : 1.Vérifier que la procédure sapplique (f est continue sur lintervalle). La différence F(b) – F(a) est généralement notée : baba F(x)F(x) On écrira donc : f(x) dx a b baba F(x)F(x) = Lorsque la fonction est continue et non négative sur [a; b], lintégrale définie donne laire sous la courbe sur lintervalle [a; b]. S

21 Exemple SS Déterminer laire sous la courbe de la fonction définie par : La fonction est continue et non négative dans lintervalle, on a donc : On trouve 27/4 unités daire. Dans lintervalle [1; 4]. f(x) = x x dx 1 4 = x dx + 2 dx = x x22x22 = + x x24x =– = – =

22 Exercice SS Déterminer laire sous la courbe de la fonction définie par : La fonction est continue et non négative dans lintervalle, on a donc : On trouve 68 unités daire. Dans lintervalle [2; 4]. f(x) = 3x 2 + 2x (3x 2 + 2x) dx 2 4 = 3x 2 dx + 2x dx = x 3 + x 2 = ( ) – (8 + 4) = – 12 = 68

23 Exemple SS Une particule se déplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est décrite par : Calculer la variation de position (dépla- cement) durant lintervalle [0; 2]. Le mobile sest déplacé de 28 m par rapport à sa position initiale. où t est le temps en secondes. v(t) = 18t – 3t 2 m/s (18t – 3t 2 ) dt 0 2 = 18t dt – 3t 2 dt = 9t 2 – t 3 = (36 – 8) – (0 – 0) = 28 La variation de position est donnée par laire sous la courbe dans lintervalle [0; 2]. La fonction est continue et non négative dans lintervalle, on a donc : 28 – 0 = 28

24 Exercice SS Une particule se déplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est décrite par : Calculer la variation de position (dépla- cement) durant lintervalle [2; 5]. Le mobile sest déplacé de 72 m par rapport à sa position initiale. où t est le temps en secondes. v(t) = 18t – 3t 2 m/s (18t – 3t 2 ) dt 2 5 = 18t dt – 3t 2 dt = 9t 2 – t 3 = (225 – 125) – (36 – 8) = 72 La variation de position est donnée par laire sous la courbe dans lintervalle [2; 5]. 100 – 28 = 72

25 Exercice SS Une particule se déplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est décrite par : Calculer la variation de position (dépla- cement) durant lintervalle [0; 6]. Le mobile sest déplacé de 108 m par rapport à sa position initiale. où t est le temps en secondes. v(t) = 18t – 3t 2 m/s (18t – 3t 2 ) dt 0 6 = 18t dt – 3t 2 dt = 9t 2 – t 3 = (324 – 216) – (0 – 0) = 108 La variation de position est donnée par laire sous la courbe dans lintervalle [0; 6]. 108 – 0 = 108

26 Conclusion Le théorème fondamental nous permet également détablir une relation entre lintégrale définie et lintégrale indéfinie, puisque : Lorsque la fonction est continue et non négative sur [a; b], lintégrale définie donne laire sous la courbe sur lintervalle [a; b]. f(x) dx a b baba F(x)F(x) =, où F(x) est une primitive de f(x). Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (première partie) donne une procédure générale pour déterminer lintégrale définie dans un intervalle [a; b], qui est valide pour toute fonction continue sur cet intervalle.


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