La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Elaboré par M. NUTH Sothan. I- Notion de l’intégrale triple: Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté au repère cartésien OXYZ. Soit f(x,

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Elaboré par M. NUTH Sothan. I- Notion de l’intégrale triple: Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté au repère cartésien OXYZ. Soit f(x,"— Transcription de la présentation:

1 Elaboré par M. NUTH Sothan

2 I- Notion de l’intégrale triple: Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté au repère cartésien OXYZ. Soit f(x, y, z) une fonction bornée et définie dans V. Divisons V par ∆ V 1, ∆ V 2,..., ∆ V n,. Prenons M i (x i, y i, z i ) ∈ ∆ V i, (i=1, 2,..., n ). La somme : où ∆ V i est le volume du i-ème parallélépipède, s’appelle somme de Riemann tridimensionnelle.

3 I- Notion de l’intégrale triple (suite) Soit d i le diamètre de ∆V i. Soit Alors, l’intégrale triple, étendue au domaine V, de la fonction f(x, y, z) : Dans les coordonnées rectangles OXYZ, on peut prend ∆V i comme ∆V ijk = ∆x i ∆y j ∆z k.

4 I- Notion de l’intégrale triple (suite) On a ainsi : dV = dx dy dz (3) D’après (3), l’intégrale triple s’écrit sous forme : Supp. : V={(x, y, z), (x, y) ∈ S, z 1 (x, y) ≤ z ≤ z 2 (x, y)} On a :

5 I- Notion de l’intégrale triple (suite) Soit S={(x, y), a ≤ x ≤ b, y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x)} un domaine standard par rapport à l’axe OY. On a : Analogiquement, si le domaine est standard par rapport à l’axe OX : S={(x, y), c ≤ y ≤ d, x 1 (y) ≤ x ≤ x 2 (y)} on a :

6 II- Changement des variables dans l’intégrale triple: 1. Coordonnées cylindrique : Pour passer aux coordonnées cylindriques on pose : x = r cos φ, y = r sin φ, z = z (1) où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2 π, −  < z < + . On a : où r est un jacobien J de coordonnées cylindriques.

7 II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): En effet : y x z φ o r M(x,y, z ) z N(x,y )

8 II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): 2. Coordonnée sphérique : Pour passer aux coordonnées sphérique on pose : x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, (4) z = r cos θ, où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2 π, 0 ≤ θ ≤ π. y x z φ o r M(x,y, z ) z θ N(x,y )

9 II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): On a : Où :

10 II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): Et : En fin : J= r 2 sin θ (6)

11 II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): On peut poser aussi : x = r cos θ cos φ, y = r cos θ sin φ, (7) z = r sin θ où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2 π, −π/2 ≤ θ ≤ + π/2. On a : J= r 2 cos θ (8) y x z φ o r M(x,y, z ) z θ N(x,y )

12 II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): 3. En général : On peut passer aux coordonnées (u, v, w) : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) (9) Le jacobien

13 II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite): Et l’intégrale triple s’écrit sous forme :

14 III- Application géométrique: Calculer le volume d’un corps limité par le domaine V. Ex.1 : Calculer le volume d’un sphère de centre d’origine de coordonnées et de rayon R. x y z o M(x, y, z) φ θ r N(x, y)

15 Exemple: Une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R définie sous forme V: x 2 + y 2 + z 2 = R 2. En passant aux coordonnées sphériques, on pose : x = r cos θ cos φ, y = r cos θ sin φ, z = r sin θ où 0 ≤ r < R, 0 ≤ φ ≤ 2 π, −π/2 ≤ θ ≤ + π/2. V: r = R et J= r 2 cos θ.

16 Exemple: Ex.2 : Calculer l’intégrale où V est une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R. En passant aux coordonnées sphériques, on pose : x = r cos θ cos φ, y = r cos θ sin φ, z = r sin θ où 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2 π, −π/2 ≤ θ ≤ + π/2. V: r = R et J= r 2 cos θ.

17 Exemple: Calculer le volume limité par les surface suivantes : Ex.3 : Ex.4 : Ex.5 : Ex.6 : Ex.7 : Ex.8 :


Télécharger ppt "Elaboré par M. NUTH Sothan. I- Notion de l’intégrale triple: Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté au repère cartésien OXYZ. Soit f(x,"

Présentations similaires


Annonces Google