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Le cercle trigonométrique Introduction. Définition:Le cercle trigonométrique est un cercle centré à lorigine du plan cartésien et ayant un rayon égal.

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1 Le cercle trigonométrique Introduction

2 Définition:Le cercle trigonométrique est un cercle centré à lorigine du plan cartésien et ayant un rayon égal à y x

3 Regardons, de plus près, les implications de cette définition. 1 1 y x 1 1 y x 1 1 y x y x

4 1 1 Le rayon étant égal à 1: les coordonnées des points seront comprises entre -1 et 1. ( x, y ) abscisse : -1 x 1ordonnée : -1 y 1 y x ( x, y ) ( -x, y ) ( -x, -y ) ( x, -y ) ( x, y )

5 Le rayon étant égal à 1: 1 1 Léquation du cercle est: x 2 + y 2 = 1 En utilisant la relation de Pythagore : y x c a b c 2 = a 2 + b 2 et en remplaçant c par 1 1 x y a par x b par y on obtient : 1 = x 2 + y 2 Léquation du cercle trigonométrique: x 2 + y 2 = 1 c 2 = a 2 + b 2

6 côté opposé côté adjacent Le rayon étant égal à 1: 1 1 le cosinus de langle correspond à laxe des abscisses; θ cos θ = hypoténuse x y 1 1 x cos θ = cos θ = x le sinus de langle correspond à laxe des ordonnées; sin θ = hypoténuse sin θ = y Les coordonnées des points du cercle ( x, y ) ( cos θ, sin θ) y x 1 y sin θ = (x, y) correspondent donc à( cos θ, sin θ)

7 1 1 x y 1 y x ( cos 50 0, sin 50 0 ) Exemple: 50 0 Quelles sont les coordonnées du point de rencontre du rayon avec la circonférence pour un angle de 50 0 ? Coordonnées du point: ( cos 50 0, sin 50 0 ) cos ,6427… 0,64 sin ,7660… 0,77 ( cos 50 0, sin 50 0 ) Coordonnées du point: ( 0,64, 0,77 )

8 1 1 y Remarque plus la mesure de langle augmente et plus la valeur du cosinus diminue. x Pour des angles compris entre 0 0 et 90 0 :

9 1 1 y Remarque plus la mesure de langle augmente et plus la valeur du sinus augmente. x Pour des angles compris entre 0 0 et 90 0 :

10 Quelques coordonnées remarquables 1 1 Le rayon rencontre la circonférence; ( x, y ) Pour un angle de 0 0 : coordonnées ( 1, 0 ) Pour un angle de 90 0 : ( 0, -1 ) ( 0, 1 ) Pour un angle de :( -1, 0 ) Pour un angle de : Pour un angle de : ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( -1, 0 ) ( 0, -1 ) ( 1, 0 ) il faut donc être capable de déterminer les coordonnées de ce point de rencontre. Pour les autres coordonnées, nous aurons nécessairement besoin de léquation du cercle: x 2 + y 2 = 1

11 Avant de parler des coordonnées de certains autres points du cercle trigonométrique, il faut connaître quelques lois sur les racines carrées. Loi 1: On doit extraire la racine carrée dun nombre au carré. Exemple: 25 = 5 Loi 2: Si la racine carrée dun nombre ne donne pas un nombre juste, on le laisse sous radical pour plus de précision. Exemple: 2 1, … Exemple: 94 = 36 3 X X 2 =6 Loi 3: On peut multiplier ensemble des racines carrées. Loi 4: On peut multiplier un nombre par une racine carrée. Exemple:3 X 2= 32 Quelques coordonnées remarquables

12 Loi 6: On doit RATIONNALISER un dénominateur contenant une racine (pour plus de précision). Exemple: 2 1 X 2 2 = 4 2 = 2 2 On crée alors une fraction équivalente en multipliant par une fraction unité composée du dénominateur. Loi 5: Extraire la racine carrée dune fraction revient à extraire la racine carrée du numérateur et du dénominateur. Exemple: 4 16 On sait que = 4 = 2 et = = 4 2 = 2

13 Pour un angle de 30 0 : x 2 + y 2 = 1 Selon lénoncé « Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30 0 est égale à la moitié de celle de lhypoténuse », 1 2 x 2 + = x 2 = x 2 = 3 4 x = 3 4 Pour un angle de 30 0 : coordonnées du point 3 2, 1 2 x = Quelques coordonnées remarquables 1 2 x y et la coordonnée de x est : y = alors 3 2,

14 Pour un angle de 30 0 : coordonnées du point 3 2, Quelques coordonnées remarquables Remarque: La coordonnée de x est 3 2 On pourrait lexprimer en notation décimale : 3 2 0, … Cependant, il est préférable de la garder sous la forme radicale pour plus de précision.

15 Pour un angle de 45 0 : Un triangle rectangle possédant un angle de 45 0 est isoangle x 2 + y 2 = 1 Les deux cathètes étant égales, on peut poser x = y. x 2 + x 2 = 1 2x 2 = 1 x 2 = x = 1 2 = 1 2 X 2 2 = 2 2 Pour un angle de 45 0 : coordonnées du point, Quelques coordonnées remarquables, donc isocèle. et y =

16 Pour un angle de 60 0 : x 2 + y 2 = 1 x = y 2 = y 2 + = y 2 = y 2 = 3 4 y = 3 4 Pour un angle de 60 0 : coordonnées du point 3 2, 1 2 y = 3 2 le 3 e angle mesure donc 30 0, Quelques coordonnées remarquables alors x y 1 2 et la coordonnée de y est: 3 2,

17 Remarques 1 1 θ θ – θ y1y1 y1y1 -x1-x1 x1x1 sin θ =sin ( – θ )

18 Remarques 1 1 θ θ – θ y1y1 y1y1 -x1-x1 x1x1 sin θ =sin ( – θ ) cos ( – θ )=- cos θ -x 1 θ

19 Radians 1 1 Le radian est une autre façon de mesurer un angle. Il utilise la circonférence du cercle. Définition: Un radian correspond à la mesure de langle au centre dont les côtés interceptent un arc dont la longueur est égale au rayon. Lutilisation des radians est impérative lorsquon dérive ou intègre une fonction trigonométrique: en effet, langle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens. 1 1

20 1 radian Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1, calculons sa circonférence. C = 2 π r C = 2 X π X 1 C = 2 π On retrouve donc 2 π radians dans un cercle trigonométrique. Soit 2 X 3,1416 6,2832 radians. un radian 57, … 0 et 0,2832 radian un radian 57,3 0

21 Convertir des mesures dangles On peut convertir des degrés en radians en utilisant le raisonnement suivant. Dans un cercle, on retrouve et la circonférence du cercle trigonométrique est égale 2π radians. En utilisant les proportions, la conversion est simple. degrés radians 2 π = Exemple: x 2 π = 2 π X = x x = π donc = π radians 2 Remarque:Pour plus de précision dans les calculs, on travaille directement avec π plutôt quavec sa valeur arrondie (3,1416).

22 degrés radians 2 π = Exemples: x 2 π = 2 π X = x x = 2 π x 2 π = 2 π X = x x = 3 π x 2 π = 2 π X = x x = 4 π x 2 π = 2 π X = x x = 6 π x 2 π = 2 π X = x x = 3π3π 2

23 Remarque: Pour des angles de 90 0, et 270 0, la conversion en radians peut se faire plus rapidement selon ce raisonnement. 1 1 y x Un angle de 90 0 correspond à un quart de cercle donc 1 4 X 2 π = 4 = Un angle de correspond à un demi cercle donc 1 2 X 2 π = 2 = Un angle de correspond aux trois quarts dun cercle donc 3 4 X 2 π = 6 π 4 = π 2 radians π 3π3π 2

24 En degrés En radians π π π π π π π

25 Le cercle trigonométrique est à la base des fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont très utiles dans le domaine des sciences. Exemples électrocardiogramme oscilloscope électro-encéphalogramme


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