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Le cercle trigonométrique Introduction. Définition:Le cercle trigonométrique est un cercle centré à lorigine du plan cartésien et ayant un rayon égal.

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1 Le cercle trigonométrique Introduction

2 Définition:Le cercle trigonométrique est un cercle centré à lorigine du plan cartésien et ayant un rayon égal à 1. 123 -2-3 1 2 3 -2 -3 y x

3 Regardons, de plus près, les implications de cette définition. 1 1 y x 1 1 y x 1 1 y x 123 -2-3 1 2 3 -2 -3 y x

4 1 1 Le rayon étant égal à 1: les coordonnées des points seront comprises entre -1 et 1. ( x, y ) abscisse : -1 x 1ordonnée : -1 y 1 y x ( x, y ) ( -x, y ) ( -x, -y ) ( x, -y ) ( x, y )

5 Le rayon étant égal à 1: 1 1 Léquation du cercle est: x 2 + y 2 = 1 En utilisant la relation de Pythagore : y x c a b c 2 = a 2 + b 2 et en remplaçant c par 1 1 x y a par x b par y on obtient : 1 = x 2 + y 2 Léquation du cercle trigonométrique: x 2 + y 2 = 1 c 2 = a 2 + b 2

6 côté opposé côté adjacent Le rayon étant égal à 1: 1 1 le cosinus de langle correspond à laxe des abscisses; θ cos θ = hypoténuse x y 1 1 x cos θ = cos θ = x le sinus de langle correspond à laxe des ordonnées; sin θ = hypoténuse sin θ = y Les coordonnées des points du cercle ( x, y ) ( cos θ, sin θ) y x 1 y sin θ = (x, y) correspondent donc à( cos θ, sin θ)

7 1 1 x y 1 y x ( cos 50 0, sin 50 0 ) Exemple: 50 0 Quelles sont les coordonnées du point de rencontre du rayon avec la circonférence pour un angle de 50 0 ? Coordonnées du point: ( cos 50 0, sin 50 0 ) cos 50 0 0,6427… 0,64 sin 50 0 0,7660… 0,77 ( cos 50 0, sin 50 0 ) Coordonnées du point: ( 0,64, 0,77 )

8 1 1 y Remarque plus la mesure de langle augmente et plus la valeur du cosinus diminue. x Pour des angles compris entre 0 0 et 90 0 :

9 1 1 y Remarque plus la mesure de langle augmente et plus la valeur du sinus augmente. x Pour des angles compris entre 0 0 et 90 0 :

10 Quelques coordonnées remarquables 1 1 Le rayon rencontre la circonférence; ( x, y ) Pour un angle de 0 0 : coordonnées ( 1, 0 ) Pour un angle de 90 0 : ( 0, -1 ) ( 0, 1 ) Pour un angle de 180 0 :( -1, 0 ) Pour un angle de 270 0 : Pour un angle de 360 0 : ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( -1, 0 ) ( 0, -1 ) ( 1, 0 ) il faut donc être capable de déterminer les coordonnées de ce point de rencontre. Pour les autres coordonnées, nous aurons nécessairement besoin de léquation du cercle: x 2 + y 2 = 1

11 Avant de parler des coordonnées de certains autres points du cercle trigonométrique, il faut connaître quelques lois sur les racines carrées. Loi 1: On doit extraire la racine carrée dun nombre au carré. Exemple: 25 = 5 Loi 2: Si la racine carrée dun nombre ne donne pas un nombre juste, on le laisse sous radical pour plus de précision. Exemple: 2 1,4142135623730950488016887242097… Exemple: 94 = 36 3 X X 2 =6 Loi 3: On peut multiplier ensemble des racines carrées. Loi 4: On peut multiplier un nombre par une racine carrée. Exemple:3 X 2= 32 Quelques coordonnées remarquables

12 Loi 6: On doit RATIONNALISER un dénominateur contenant une racine (pour plus de précision). Exemple: 2 1 X 2 2 = 4 2 = 2 2 On crée alors une fraction équivalente en multipliant par une fraction unité composée du dénominateur. Loi 5: Extraire la racine carrée dune fraction revient à extraire la racine carrée du numérateur et du dénominateur. Exemple: 4 16 On sait que = 4 = 2 et 4 16 4 = = 4 2 = 2

13 1 1 30 0 Pour un angle de 30 0 : x 2 + y 2 = 1 Selon lénoncé « Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30 0 est égale à la moitié de celle de lhypoténuse », 1 2 x 2 + = 1 1 2 2 1 4 x 2 = 1 - 1 4 x 2 = 3 4 x = 3 4 Pour un angle de 30 0 : coordonnées du point 3 2, 1 2 x = 3 2 1 Quelques coordonnées remarquables 1 2 x y et la coordonnée de x est : y = alors 3 2, 1 2 3 2

14 1 1 30 0 Pour un angle de 30 0 : coordonnées du point 3 2, 1 2 1 Quelques coordonnées remarquables Remarque: La coordonnée de x est 3 2 On pourrait lexprimer en notation décimale : 3 2 0,8660254038… Cependant, il est préférable de la garder sous la forme radicale pour plus de précision.

15 1 1 45 0 Pour un angle de 45 0 : Un triangle rectangle possédant un angle de 45 0 est isoangle x 2 + y 2 = 1 Les deux cathètes étant égales, on peut poser x = y. x 2 + x 2 = 1 2x 2 = 1 x 2 = 1 2 1 2 x = 1 2 = 1 2 X 2 2 = 2 2 Pour un angle de 45 0 : coordonnées du point, 2 2 2 2 1 Quelques coordonnées remarquables, 2 2 2 2 45 0 donc isocèle. et y = 2 2 2 2 2 2

16 1 1 60 0 Pour un angle de 60 0 : x 2 + y 2 = 1 x = 1 2 + y 2 = 1 1 2 2 y 2 + = 1 1 4 y 2 = 1 - 1 4 y 2 = 3 4 y = 3 4 Pour un angle de 60 0 : coordonnées du point 3 2, 1 2 y = 3 2 le 3 e angle mesure donc 30 0, 30 0 1 Quelques coordonnées remarquables alors x y 1 2 et la coordonnée de y est: 3 2, 1 2 3 2

17 Remarques 1 1 θ θ 180 0 – θ y1y1 y1y1 -x1-x1 x1x1 sin θ =sin ( 180 0 – θ )

18 Remarques 1 1 θ θ 180 0 – θ y1y1 y1y1 -x1-x1 x1x1 sin θ =sin ( 180 0 – θ ) cos ( 180 0 – θ )=- cos θ -x 1 θ

19 Radians 1 1 Le radian est une autre façon de mesurer un angle. Il utilise la circonférence du cercle. Définition: Un radian correspond à la mesure de langle au centre dont les côtés interceptent un arc dont la longueur est égale au rayon. Lutilisation des radians est impérative lorsquon dérive ou intègre une fonction trigonométrique: en effet, langle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens. 1 1

20 1 radian Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1, calculons sa circonférence. C = 2 π r C = 2 X π X 1 C = 2 π On retrouve donc 2 π radians dans un cercle trigonométrique. Soit 2 X 3,1416 6,2832 radians. un radian 57,29577951308232087679… 0 et 0,2832 radian un radian 57,3 0

21 Convertir des mesures dangles On peut convertir des degrés en radians en utilisant le raisonnement suivant. Dans un cercle, on retrouve 360 0 et la circonférence du cercle trigonométrique est égale 2π radians. En utilisant les proportions, la conversion est simple. degrés 360 0 radians 2 π = Exemple: 180 0 360 0 x 2 π = 2 π X 180 0 360 0 = x x = π donc 180 0 = π radians 2 Remarque:Pour plus de précision dans les calculs, on travaille directement avec π plutôt quavec sa valeur arrondie (3,1416).

22 degrés 360 0 radians 2 π = Exemples: 90 0 360 0 x 2 π = 2 π X 90 0 360 0 = x x = 2 π 60 0 360 0 x 2 π = 2 π X 60 0 360 0 = x x = 3 π 45 0 360 0 x 2 π = 2 π X 45 0 360 0 = x x = 4 π 30 0 360 0 x 2 π = 2 π X 30 0 360 0 = x x = 6 π 270 0 360 0 x 2 π = 2 π X 270 0 360 0 = x x = 3π3π 2

23 Remarque: Pour des angles de 90 0, 180 0 et 270 0, la conversion en radians peut se faire plus rapidement selon ce raisonnement. 1 1 y x Un angle de 90 0 correspond à un quart de cercle donc 1 4 X 2 π = 4 = Un angle de 180 0 correspond à un demi cercle donc 1 2 X 2 π = 2 = Un angle de 270 0 correspond aux trois quarts dun cercle donc 3 4 X 2 π = 6 π 4 = π 2 radians π 3π3π 2

24 En degrés En radians 360 0 2 π 180 0 π 90 0 2 π 60 0 3 π 45 0 4 π 30 0 6 π 0 0 270 0 2 3 π

25 Le cercle trigonométrique est à la base des fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont très utiles dans le domaine des sciences. Exemples électrocardiogramme oscilloscope électro-encéphalogramme


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