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Les mouvements sur la Sphère. Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère.

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Présentation au sujet: "Les mouvements sur la Sphère. Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère."— Transcription de la présentation:

1 Les mouvements sur la Sphère

2 Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

3 Définitions: le Grand-Cercle

4 = intersection d’un cône de révolution dont l’apex est situé au centre de la sphère... Définitions: le Petit-Cercle

5 ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère Définitions: le Petit-Cercle

6 ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère

7 Définitions: le Repère Géocentrique La position de tout point P dans le repère géocentrique est définie par: - r: distance au centre de la Terre rayon moyen de la Terre: 6371 km. - : la latitude = angle entre le vecteur position du point et le plan équatorial. -  : la longitude = angle que fait le grand-cercle passant par P et le pôle nord avec un grand-cercle arbitraire passant par les pôles N et S. Pôle Nord 0° 90° (E) -90° ou 270° (r,,  )  : compté de 0° (méridien de Greenwich) à 360° vers l’Est : compté de 0° (Equateur) à +90° vers le nord, et à – 90° vers le sud N.B.:  est la colatitude, comptée de 0° (pôle nord) à 180° (pôle sud)

8 Quelques outils

9 Trigonométrie Sphérique

10

11 Nota: la somme  est toujours supérieure à 180°

12 Trigonométrie Sphérique Formule des sinus:

13 Trigonométrie Sphérique Formule des cosinus:

14 Trigonométrie Sphérique Aire du triangle sphérique  Soit par les angles au sommet: Soit par les longueurs des côtés: Nota: l’aire  est un angle solide qui s’exprime en stéradian. La surface dans le système métrique S s’obtient par S = .r 2, où r est le rayon de la sphère.

15 Trigonométrie Sphérique - Applications 1. Quelle est la distance entre Paris (48° 51’ N, 2° 21’ E) et San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’W) ? 2. Quel cap doit prendre un avion après le décollage de Paris pour se rendre à San Francisco ? 3. Ce cap reste-t-il constant tout le long du voyage ?

16 Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: 1 = 48° 51’ N,  1 = 2° 21’ E San Francisco: 2 = 37° 46’ N,  2 = 122° 25’ W

17 Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: 1 = 48° 51’ N,  1 = 2° 21’ E San Francisco: 2 = 37° 46’ N,  2 = 122° 25’ W

18 Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: 1 = 48° 51’ N,  1 = 2° 21’ E San Francisco: 2 = 37° 46’ N,  2 = 122° 25’ W

19 Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: 1 = 48° 51’ N,  1 = 2° 21’ E San Francisco: 2 = 37° 46’ N,  2 = 122° 25’ W

20 Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: 1 = 48° 51’ N,  1 = 2° 21’ E San Francisco: 2 = 37° 46’ N,  2 = 122° 25’ W d d = 80.6° ≈ 8960 km Formule des cosinus:

21 Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: 1 = 48° 51’ N,  1 = 2° 21’ E San Francisco: 2 = 37° 46’ N,  2 = 122° 25’ W d d = 80.6° ≈ 8960 km Formule des sinus: Az Az = 41.2° (W)

22 Chemin le plus court = arc de grand-cercle = Orthodromie Chemin à cap constant = chemin le plus long = Loxodromie

23 Orthodromie

24 Loxodromie

25 Produit Scalaire r

26 r Vecteur position a

27 Produit Scalaire r Vecteur position a Vecteur position b

28 Produit Scalaire r Vecteur position a Vecteur position b Produit scalaire a.b d’où:

29 Produit Vectoriel Vecteur position a Vecteur position b Produit vectoriel a  b (ou a x b)

30 Déplacement sur la sphère A B Comment décrire un mouvement d’un point A à un point B sur une sphère ?

31 ?? Ce mouvement peut-il être rectiligne ? Déplacement sur la sphère A B

32 Tout déplacement sur une sphère est une rotation En aucune manière... il s’agit d’une rotation. A B A B

33 Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler C’est une rotation eulérienne, du nom de Leonhard Euler ( ), mathématicien suisse. A B

34 Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler A B Remarques: la rotation d’Euler est une rotation finie elle décrit le mouvement le plus court de A à B elle ne permet pas de décrire la trajectoire de A à B (pour cela, il faut des paramètres de rotation finie intermédiaires...). ??

35 Cosinus directeurs  = angle avec l’axe X  = angle avec l’axe Y  = angle avec l’axe Z

36 Cosinus directeurs  = angle avec l’axe X  = angle avec l’axe Y  = angle avec l’axe Z

37 Cosinus directeurs  = angle avec l’axe X  = angle avec l’axe Y  = angle avec l’axe Z

38 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)

39 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l 11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l 12 = " " " Y l 13 = " " " Z Oxyz x’l 11 l 12 l 13 Que l’on peut réécrire: l ij =cos  ij

40 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l 11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l 12 = " " " Y l 13 = " " " Z l 21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l 22 = " " " Y l 23 = " " " Z Oxyz x’l 11 l 12 l 13 y’l 21 l 22 l 23 Que l’on peut réécrire: l ij =cos  ij

41 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l 11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l 12 = " " " Y l 13 = " " " Z l 21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l 22 = " " " Y l 23 = " " " Z l 31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l 32 = " " " Y l 33 = " " " Z Oxyz x’l 11 l 12 l 13 y’l 21 l 22 l 23 z’l 31 l 32 l 33 Que l’on peut réécrire: l ij =cos  ij

42 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l 11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l 12 = " " " Y l 13 = " " " Z l 21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l 22 = " " " Y l 23 = " " " Z l 31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l 32 = " " " Y l 33 = " " " Z Oxyz x’l 11 l 12 l 13 y’l 21 l 22 l 23 z’l 31 l 32 l 33 Que l’on peut réécrire: C’est la matrice de transformation [TM]

43 Changement de repère Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pour coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’): ou: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z) ou:

44 Changement de repère On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée: P(x,y,z) = [TM] T * P(x’,y’,z’) et: À noter:

45 Rotation 2D

46 Rotation 3D Rajoutons une 3 ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

47 Rotation 3D – règle du trièdre direct Rajoutons une 3 ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

48 Rotation 3D R z (  ) est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z Rajoutons une 3 ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

49 à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y et Z (respectivement) : R x  tourne l'axe Y vers l'axe Z, R y  tourne l'axe Z vers l'axe X et R z  tourne l'axe X vers l'axe Y. Rotation 3D

50 Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes 

51 Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 1: Etablir un nouveau repère (X’,Y’,Z’) avec: -Z’ aligné sur le Pôle d’Euler -X’ sur le même méridien et orthogonal à Z’ -Y’ formant un trièdre direct avec (X’,Z’) Dans ce repère, le point P a pour coordonnées: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z) ou: 

52 Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 2: Effectuer la "rotation 2D" autour de Z’ en utilisant R z (  ): à ce stade, le point P’ a pour coordonnées dans le repère (X’,Y’,Z’): P’(x",y",z") = R z (  ) * [TM] * P(x,y,z) ou: 

53 Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 3: Revenir au repère Géocentrique (X,Y,Z) en multipliant P’(x",y",z") par la matrice de transformation transposée: P’(x’’’,y’’’,z’’’) = [TM] T * R z (  * [TM] * P(x,y,z) Soit: 

54 Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne est le produit de 3 tenseurs: [TM] T R z (  [TM]

55 Rotation Eulérienne 125 Ma Ce sont ces rotations qui sont à la base des reconstructions dans le passé le stade suivant étant de déterminer les paramètres de rotation... !!


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