ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

Présentation au sujet: "ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur"— Transcription de la présentation:

1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur
la méthode des moindres carrés Le point de vue numérique (factorisation QR)

2 Approximation/interpollation: moindres carrés
f(x) yi xi

3 Posons le problème matriciellement

4 Posons le problème matriciellement
Xa = f =

5 Approximation au sens des moindres carrés
Système linéaire de k équations et k inconnues

6 Approximation : version matricielle
Erreur d’approximation Système linéaire de k équations et k inconnues

7 Approximation : version matricielle
Erreur d’approximation Matrice de Vandermonde ( ) Système linéaire de k équations et k inconnues

8 Forme quadratique Équations normales

9 Point de vue algèbrique (géométrique)
X représente une application linéaire de Rp sur Rn Projection de y (les résultats des expériences) sur le sous espace vectoriel engendré par X (les données) y

10 Comment résoudre le problème des moindres carrées ?
Rang(X’X) = Rang(X) = 3 cond(X’X) = cond(X)*cond(X) Il faut mieux travailler sur X que sur X’X … si possible !

11 Un principe, deux idées Matrice orthogonale
Orthogonalisation de Schmidt Orthogonalisation de Householder X p Car H orthogonale R 1 n 1 n G X H R

12 Base orthogonale (Schmidt)
G X Fonction x = mmc(A,b) G,R = decompose(A) x = triang(R,G’b)

13 { Décompose : X=GR R Théorème : dans tout espace vectoriel
Théorème : dans tout espace vectoriel de dimension finie, il existe des bases orthogonales G X {

14 Décompose : X=GR Fonction G,R = décompose(A)
Problème d’accumulation d’erreurs d’arrondi

15 La méthode QR Il est si facile le résoudre un système « triangulaire » ! Q « facilement »  inversible et R triangulaire Définition : on appelle matrice de Householder du vecteur normé u une matrice H de la forme suivante Propriété : une matrice de Householder est symétrique et orthogonale HTH=I Les transformations orthogonales « conservent » la norme

16 Orthogonalisation : X = QR
Transformation de Householder Q X Définir H

17 Householder et moindres carrés

18 Transformation de Householder

19 Transformation de Householder
Théorème : pour tout vecteur normé x, pour le vecteur unitaire e1 il existe une matrice H telle que : Hx=e1 Démonstration : posons

20 Transformation de Householder
X H R 1 H H =

21 Quels calculs ?

22 QR : algorithme de Householder
Diag(R) k premières lignes de R Rangement des variables produit des H : (si besoin) à la fin en commençant par le plus simple formules à l’étape k Partie non encore factorisée n p Theodore et lascau pp 291 chap 6 mmc 6.5.4

23 L’algorithme QR Fonction Q,R = décomposeQR(X)

24 Retour des moindres carrées la méthode QR
Mise en œuvre : on calcule directement Q’b pendant la décomposition

25 Remarques MMC sans Q R=chol(A’A)
Si on ajoute ou on enlève une variable Q et R changent « peu »

26 Matlab ATTENTION : cette semaine il faut un compte rendu par binôme
unCR est une page recto verso : recto ce que vous avez fait, verso : ce que vous en pensez !