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I – Expression d’un vecteur dans une base orthonormée I.1 – Base orthonormée I.2 – Composantes d’un vecteur I.3 – Norme d’un vecteur III – Opérations sur.

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1 I – Expression d’un vecteur dans une base orthonormée I.1 – Base orthonormée I.2 – Composantes d’un vecteur I.3 – Norme d’un vecteur III – Opérations sur les vecteurs III.1 – Addition des vecteurs III.2 – Multiplication par un réel III.3 – Produit scalaire III.4 – Produit vectoriel II – Changer un vecteur de base II.1 – Construire les figures de changement de base OUTILS MATHEMATIQUES POUR LES SII - CALCUL VECTORIEL - II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne » MPSI Cours de SII Chapitre III

2 I – Expression d’un vecteur dans une base orthonormée I.1 – Base orthonormée Afin de bien modéliser l’espace qui nous entoure, nous choisirons une base composée de 3 vecteurs (i,j,k). Elle sera :  Un vecteur V est défini par ses composantes dans la base (i,j,k) Orthonormée : - vecteurs orthogonaux 2 à 2 - de longueur unitaire (norme=1) I.2 – Composantes d’un vecteur I.3 – Norme d’un vecteur ou  La norme (= module) d’un vecteur est la distance entre l’origine et l’extrémité de ce vecteur. On note : X Y Z M O 1 i k j V Directe i j k

3 I – Expression d’un vecteur dans une base orthonormée I.1 – Base orthonormée Afin de bien modéliser l’espace qui nous entoure, nous choisirons une base composée de 3 vecteurs (i,j,k). Elle sera :  Un vecteur V est défini par ses composantes dans la base (i,j,k) Orthonormée : - vecteurs orthogonaux 2 à 2 - de longueur unitaire (norme=1) I.2 – Composantes d’un vecteur I.3 – Norme d’un vecteur ou  La norme (= module) d’un vecteur est la distance entre l’origine et l’extrémité de ce vecteur. On note : X Y Z M O 1 j i k V Directe Lorsqu’il est représenté graphiquement, le vecteur est défini par : Une direction (la parallèle à la droite qui porte le vecteur) Un sens (symbolisé par une flèche) Une norme (la longueur du vecteur)

4 En SII, on associe à chaque pièces (ou groupe de pièces) d’un mécanisme un repère. Un repère est constitué d’un point et d’une base orthonormée directe : y x z i j k u v w II – Changer un vecteur de base F serrage Fréquemment, il faut exprimer dans une base ((x,y,z) par exemple) un vecteur dont on connaît les coordonnées dans une autre base ((u,v,w) par exemple) Ces bases sont donc en mouvement les unes par rapport autres. En général, il s’agit d’un mouvement simple : - Rotation autour d’un axe, - Translation rectiligne le long d’un axe. Pour cela, on utilise une f ff figure de changement de base.

5 En SII, on associe à chaque pièces (ou groupe de pièces) d’un mécanisme un repère. Un repère est constitué d’un point et d’une base orthonormée directe : y x z u v w II – Changer un vecteur de base F serrage a b Fréquemment, il faut exprimer dans une base ((x,y,z) par exemple) un vecteur dont on connaît les coordonnées dans une autre base ((u,v,w) par exemple) figure de changement de base. Pour cela, on utilise une figure de changement de base. Ces bases sont donc en mouvement les unes par rapport autres. En général, il s’agit d’un mouvement simple : - Rotation autour d’un axe, - Translation rectiligne le long d’un axe.

6 II.1 – Construire une figure de changement de base Soit une base (u,v,w) en rotation autour de l’axe x par rapport à une base (x,y,z). Pour construire la figure de changement de base, il faut :  2 - Compléter, sous la forme d’un « L », de manière directe la base qui sert de référence au mouvement. y z v w  1 - Placer, orienté vers soi, le vecteur autour duquel tourne la base par rapport à l’autre. (il s’agit donc d’un vecteur commun aux deux bases)  3 - Dessiner et compléter de manière directe la base en mouvement en la décalant d’un petit angle (  15°) dans le sens trigonométrique. x, u Dans cet exemple,  (t) correspond au paramètre de rotation entre les deux bases….    4 - Indiquer le paramètre de mouvement orienté.

7 Soit une base (u,v,w) en rotation autour de l’axe x par rapport à une base (x,y,z). Pour construire la figure de changement de base, il faut :  2 - Compléter, sous la forme d’un « L », de manière directe la base qui sert de référence au mouvement.  1 - Placer, orienté vers soi, le vecteur autour duquel tourne la base par rapport à l’autre. (il s’agit donc d’un vecteur commun aux deux bases)  3 - Dessiner et compléter de manière directe la base en mouvement en la décalant d’un petit angle (  15°) dans le sens trigonométrique. Dans cet exemple,  (t) correspond au paramètre de rotation entre les deux bases….  4 - Indiquer le paramètre de mouvement. y z v w x, u   y v w z   II.1 – Construire une figure de changement de base

8 y z v w   II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base Reprenons l’exemple de notre vecteur effort de serrage exprimé dans la base (u,v,w): a b

9 Reprenons l’exemple de notre vecteur effort de serrage exprimé dans la base (u,v,w): Grace à la figure de changement de base, on voit facilement que : y z v w   II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base

10 Reprenons l’exemple de notre vecteur effort de serrage exprimé dans la base (u,v,w): Grace à la figure de changement de base, on voit facilement que : et y z v w   II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base

11 y z v w   Reprenons l’exemple de notre vecteur effort de serrage exprimé dans la base (u,v,w): Grace à la figure de changement de base, on voit facilement que : On a donc, exprimé dans la base (x,y,z) : Le vecteur garde son identité, quelque soit la base dans laquelle ses composantes sont exprimées ! II.2 – Utiliser une figure de changement de base pour projeter un vecteur dans une autre base et

12 x0x0 y0y0 x1x1 y1y1   maitriser parfaitement Les 4 projections possibles sont donc à maitriser parfaitement :

13 x0x0 y0y0 x1x1 y1y1  

14 x0x0 y0y0 x1x1 y1y1  

15 x0x0 y0y0 x1x1 y1y1  

16 x0x0 y0y0 x1x1 y1y1   maîtriser parfaitement Les 4 projections possibles sont donc à maîtriser parfaitement : Un outil pour retrouver ces quatre projections Un outil pour retrouver ces quatre projections : x1x1 y1y1 x0x0 y0y0 Base de départ dans le sens direct Base d’arrivée dans le sens direct

17 x0x0 y0y0 x1x1 y1y1   maîtriser parfaitement Les 4 projections possibles sont donc à maîtriser parfaitement : Un outil pour retrouver ces quatre projections Un outil pour retrouver ces quatre projections : x1x1 y1y1 x0x0 y0y0 cos  sin  -sin  cos  Base de départ dans le sens direct Base d’arrivée dans le sens direct Une lecture dans les deux sens

18 x0x0 y0y0 x1x1 y1y1   maîtriser parfaitement Les 4 projections possibles sont donc à maîtriser parfaitement : Un outil pour retrouver ces quatre projections Un outil pour retrouver ces quatre projections : x1x1 y1y1 x0x0 y0y0 cos  sin  -sin  cos  Base de départ dans le sens direct Base d’arrivée dans le sens direct Une lecture dans les deux sens

19 III – Opérations sur les vecteurs III.1 – Addition des vecteurs Dans l’ensemble (E) des vecteurs, l’addition d’un vecteurs V 1 (X 1,Y 1,Z 1 ) et d’un vecteur V 2 (X 2,Y 2,Z 2 ) est un vecteur tel que : V1V1 V2V2 V 1 + V 2 V1V1 V2V2 L’addition vectorielle conduit à la relation de Chasles : M N P

20 Dans l’ensemble (E) des vecteurs, l’addition d’un vecteurs V 1 (X 1,Y 1,Z 1 ) et d’un vecteur V 2 (X 2,Y 2,Z 2 ) est un vecteur tel que : III.2 – Multiplication par un réel V Dans l’ensemble (E) des vecteurs, la multiplication d’un vecteur V(X,Y,Z) par un réel est un vecteur colinéaire à V tel que :.V -.V 1212 L’addition vectorielle conduit à la relation de Chasles : III – Opérations sur les vecteurs III.1 – Addition des vecteurs

21 Dans l’ensemble (E) des vecteurs, l’addition d’un vecteurs V 1 (X 1,Y 1,Z 1 ) et d’un vecteur V 2 (X 2,Y 2,Z 2 ) est un vecteur tel que : Dans l’ensemble (E) des vecteurs, la multiplication d’un vecteur V(X,Y,Z) par un réel est un vecteur colinéaire à V tel que : L’addition vectorielle conduit à la relation de Chasles : V.V -.V 1212 III.2 – Multiplication par un réel III – Opérations sur les vecteurs III.1 – Addition des vecteurs

22 III.3 – Produit scalaire  Définition : Le produit scalaire des deux vecteurs U et V est le nombre réel suivant noté U.V :  Expression analytique : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit scalaire des deux vecteurs V 1 (X 1,Y 1,Z 1 ) et V 2 (X 2,Y 2,Z 2 ) s’écrit : VU Propriétés : Symétrie : Distributivité : Multiplication par un réel : Angle (U,V) Réel !

23 III.3 – Produit scalaire  Définition : Le produit scalaire des deux vecteurs U et V est le nombre réel suivant noté U.V :  Expression analytique : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit scalaire des deux vecteurs V 1 (X 1,Y 1,Z 1 ) et V 2 (X 2,Y 2,Z 2 ) s’écrit : Propriétés :  Cas particulier : i j k Le produit scalaire est nul : - S- Si un des deux vecteurs est nul - S- Si les 2 vecteurs sont  U V VU Angle (U,V) Symétrie : Distributivité : Multiplication par un réel :

24 III.3 – Produit scalaire  Définition : Le produit scalaire des deux vecteurs U et V est le nombre réel suivant noté U.V :  Expression analytique : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit scalaire des deux vecteurs V 1 (X 1,Y 1,Z 1 ) et V 2 (X 2,Y 2,Z 2 ) s’écrit :  Cas particulier : i j k Le produit scalaire est nul : - Si un des deux vecteurs est nul - Si les 2 vecteurs sont  U V Il permet de faire la projection d’un vecteur sur un axe Remarque : Si le vecteur U est unitaire Alors C’est la projection du vecteur V sur l’axe de vecteur unitaire U. V U Angle (U,V) Propriétés : Symétrie : Distributivité : Multiplication par un réel :

25 III.4 – Produit vectoriel  Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté U  V tel que : V U UVUV  Sa direction est au plan (U,V)  Son sens est tel que le trièdre (U,V, U  V) est direct UVUV On utilise aussi la règle du « tire bouchon »

26 III.4 – Produit vectoriel  Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté U  V tel que :  Sa direction est au plan (U,V)  Son sens est tel que le trièdre (U,V, U  V) est direct V U UVUV UVUV On utilise aussi la règle du « tire bouchon »

27 III.4 – Produit vectoriel  Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté U  V tel que :  Sa direction est au plan (U,V)  Son sens est tel que le trièdre (U,V, U  V) est direct V U UVUV UVUV On utilise aussi la règle du « tire bouchon »

28 III.4 – Produit vectoriel  Sa norme est  Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté U  V tel que :  Sa direction est au plan (U,V)  Son sens est tel que le trièdre (U,V, U  V) est direct V U UVUV UVUV On utilise aussi la règle du « tire bouchon »

29 III.4 – Produit vectoriel  Expression analytique : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit vectoriel des deux vecteurs V 1 (X 1,Y 1,X 1 ) et V 2 (X 2,Y 2,X 2 ) s’écrit : Les 2 vecteurs doivent être exprimés dans la même base !  exemple : !  Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté U  V tel que :

30 III.4 – Produit vectoriel Propriétés : antisymétrie : Distributivité : Multiplication par un réel :  Expression analytique : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit vectoriel des deux vecteurs V 1 (X 1,Y 1,Z 1 ) et V 2 (X 2,Y 2,Z 2 ) s’écrit :  Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté U  V tel que :

31 III.4 – Produit vectoriel  Cas particulier : i j k Le produit vectoriel est nul : - S- Si un des deux vecteurs est nul - S- Si les 2 vecteurs sont colinéaires U V  Expression analytique : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit vectoriel des deux vecteurs V 1 (X 1,Y 1,Z 1 ) et V 2 (X 2,Y 2,Z 2 ) s’écrit :  Exemple : i j k - En utilisant la définition, exprimer i  j  Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté U  V tel que :

32 III.4 – Produit vectoriel  Cas particulier : i j k Le produit vectoriel est nul : - Si un des deux vecteurs est nul - Si les 2 vecteurs sont colinéaires V  Expression analytique : Dans une base orthonormée (i,j,k) le produit vectoriel des deux vecteurs V 1 (X 1,Y 1,Z 1 ) et V 2 (X 2,Y 2,Z 2 ) s’écrit :  Exemple : i j k - En utilisant la définition, exprimer i  j - En utilisant l’expression analytique, exprimer k  j ° U  Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est un vecteur noté U  V tel que : 10

33 l y z v w   V1V1 V2V2 d h Exemple : calculer V 1  V 2 ? Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le p pp produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne »

34 y z v w   x, u y v w z x + Exemple : calculer V 1  V 2 ? produit vectoriel Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne »

35 x + Exemple : calculer V 1  V 2 ? produit vectoriel Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne »

36 y z v w   x, u y v w z x + x = cos  Exemple : calculer V 1  V 2 ? produit vectoriel Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne »

37 x, u y v w z x + sin  y z v w    Exemple : calculer V 1  V 2 ? produit vectoriel Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne »

38 ou y z v w   V1V1 V2V2 d l h Exemple : calculer V 1  V 2 ? produit vectoriel Les figures de changement de base sont aussi très utiles pour effectuer le produit vectoriel. Ce qui sera très pratique lors de nombreux calculs (cinématique, statique, dynamique…) On commencera d’ailleurs par dessiner ces figures avant de commencer n’importe quel exercice ! III.5 – Utiliser une figure de changement de base pour faire un produit vectoriel « en ligne »

39 En pratique, et à condition que la figure de changement de base soit correctement construite, on peut déterminer le signe du résultat des différents produits vectoriels de vecteurs unitaires de la façon suivante: Pour 2 vecteurs unitaires de la même base Pour 2 vecteurs unitaires de bases différentes mais définis sur la figure de changement de base + si on fait le produit vectoriel dans le sens direct - si on fait le produit vectoriel dans le sens indirect + si on fait le produit vectoriel dans le sens « trigonométrique » - si on fait le produit vectoriel dans le sens « horaire » Pour 2 vecteurs unitaires de bases différentes et qui ne sont pas définis sur la figure de chan- gement de base : Il faut projeter dans une autre base au moins un des 2 vecteurs. Donc : Donc : Donc : Donc : Ceci n’est vrai que si la base est orientée avec z vers l’observateur Remarque :

40 Un peu d’entrainement…  Soit une base (x 1,y 1,z 1 ) en rotation par rapport à la base (x,y,z)  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe z(=z 1 )   = (x,x 1 )  Soit une base (x 2,y 2,z 2 ) en rotation par rapport à la base (x 1,y 1,z 1 )  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe x 1 (=x 2 )   = (y 1,y 2 )  Soit une base (x 3,y 3,z 3 ) en rotation par rapport à la base (x 2,y 2,z 2 )  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe z 2 (=z 3 )   = (x 2,x 3 )

41 Un peu d’entrainement… 1 - Dessiner les figures de changement de base  Soit une base (x 1,y 1,z 1 ) en rotation par rapport à la base (x,y,z)  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe z(=z 1 )   = (x,x 1 )  Soit une base (x 2,y 2,z 2 ) en rotation par rapport à la base (x 1,y 1,z 1 )  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe x 1 (=x 2 )   = (y 1,y 2 )  Soit une base (x 3,y 3,z 3 ) en rotation par rapport à la base (x 2,y 2,z 2 )  est le paramètre qui caractérise la rotation autour de l’axe z 2 (=z 3 )   = (x 2,x 3 )

42 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : y x y1y1 x1x1 =z1z1 z z1z1 y1y1 z2z2 y2y2 = x2x2 x1x1 y2y2 x2x2 y3y3 x3x3 =z3z3 z2z2      

43 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : Il n’existe pas de figure de changement de base qui permette de calculer directement ce produit vectoriel ! y x y1y1 x1x1 =z1z1 z z1z1 y1y1 z2z2 y2y2 = x2x2 x1x1 y2y2 x2x2 y3y3 x3x3 =z3z3 z2z2      

44 y x y1y1 x1x1 =z1z1 z   y2y2 x2x2 y3y3 x3x3 =z3z3 z2z2   x3x3 y3y3 x2x2 y2y2 cc ss -s  cc x1x1 y1y1 x y cc ss -s  cc

45 z1z1 y1y1 z2z2 y2y2 = x2x2 x1x1   z1z1 -z 2 -sin . x 1 ou -sin . x 2

46 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : Il n’existe pas de figure de changement de base qui permette de calculer directement ce produit vectoriel !

47 y2y2 x2x2 y3y3 x3x3 =z3z3 z2z2   x3x3 y3y3 x2x2 y2y2 cc ss -s  cc z1z1 y1y1 z2z2 y2y2   = x2x2 x1x1

48 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer :

49 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : Ou alors…

50 =z1z1 z z1z1 y1y1 z2z2 y2y2 = x2x2 x1x1   z1z1 y1y1 cc ss -s  cc y2y2 z2z2 y2y2 x2x2 y3y3 x3x3 =z3z3 z2z2  

51 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : y2y2 x2x2 y3y3 =z3z3 z2z2  

52 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer :

53 y2y2 x2x2 y3y3 x3x3 =z3z3 z2z2   z1z1 y1y1 z2z2 y2y2   = x2x2 x1x1 x3x3 y3y3 x2x2 y2y2 cc ss -s  cc

54 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer : y x y1y1 x1x1 =z1z1 z  

55 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer :

56 y2y2 x2x2 y3y3 x3x3 =z3z3 z2z2   x3x3 y3y3 x2x2 y2y2 cc ss -s  cc x x1x1 =z1z1 z  yy1y1  x1x1 y1y1 x y cc ss -s  cc

57 z1z1 y1y1 z2z2 y2y2   = x2x2 x1x1 z1z1 -z 2 -sin . x 1

58 Un peu d’entrainement… 2 – En utilisant la définition du produit vectoriel, Calculer :

59 Le produit mixte des 3 vecteurs, est le nombre réel suivant noté : III.6 – Produit mixte Propriétés : Changement de signe si l’on intervertit 2 vecteurs Pas de changement de signe si l’on fait une permutation circulaire:

60 III.7 – Double produit vectoriel Le produit mixte des 3 vecteurs, est le nombre réel suivant noté : III.6 – Produit mixte Propriétés : Changement de signe si l’on intervertit 2 vecteurs Pas de changement de signe si l’on fait une permutation circulaire:

61 III.8 – Division vectorielle


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