CHAPITRE I : Systèmes à un degré de liberté 1-Rappels et définitions 1-1 Système harmonique 1-2 Système linéaire 1-3 Remarque : si le système n ’est pas.

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1 CHAPITRE I : Systèmes à un degré de liberté 1-Rappels et définitions 1-1 Système harmonique 1-2 Système linéaire 1-3 Remarque : si le système n ’est pas linéaire 2-Représentation vectorielle 3- Écriture en imaginaire 4-Systèmes mécaniques non dissipatifs 4-1Vibrations autour d ’un puits de potentiel 4-2 Exemple : la liaison chimique 4-3 Méthode de perturbation 4-4 Série de Fourier 5-Mise en équation et définitions 5-1 Etude du système libre amorti 5-2 Système libre amorti 5-3 Systèmes forcés sinusoidaux 5-4 Systèmes forcés en régime établi 5-5 Remarques évidentes

2 1-Rappels et définitions 1-1) Système harmonique Système périodique sinusoïdale Une seule pulsation  (fréquence ou période) Une amplitude de vibration Éventuellement un déphasage x=Xcos  t ( +  CHAPITRE I : Systèmes à un degré de liberté

3 Conséquence 1 Définitions 1-2) Système linéaire Sollicitation s(t) Réponse r(t) r=ks Relation de proportionnalité sollicitation harmonique pulsation  s=Scos  t Réponse harmonique même pulsation  r=kScos  t=Rcos tt

4 Définitions Système linéaire Sollicitation s Réponse r r=ks Relation de proportionnalité Conséquence 2 Théorème de superposition La réponse à la superposition de deux sollicitations indépendantes est la superposition des réponses individuelles Sollicitations s = s 1 + s 2 Réponse r=k (s 1 +s 2 ) = k s 1 +k s 2 = r 1 +r 2

5 1-3) Remarque : si le système n ’est pas linéaire r =ks 2 Par exemple sollicitation harmonique pulsation  s=Scos  t r=k (Scos  t ) 2 =kS 2 (1+cos 2  t )/2 pulsation 2  Génération d ’harmoniques Sollicitations s = s 1 + s 2 Réponse r =k (s 1 +s 2 ) 2 = k s 1 2 + k s 2 2 +2k s 1 s 2 =r 1 +r 2 + 2k s 1 s 2 Le théorème de superposition n ’est plus vérifié

6 X x(t) V v(t)   t) tt x 2-Représentation vectorielle

7 X V  x(t) =X v(t) =0  t) =-   X Energie potentielle maximale x

8 X V  v(t)=-  X  t) =0 x(t) =0 Energie cinétique maximale x

9 X x(t) V v(t)   t) tt Re I 3) Écriture en imaginaire

10 4-Systèmes mécaniques non dissipatifs Energie totale E T constante (E cinétique ) (E potentielle ) Echange T V T+V=E T Quand T=0 V=V max =E T Quand V=0 T=T max =E T

11 x V E T1 AB E T3 4-1Vibrations autour d ’un puits de potentiel E T2 A B CD

12 4-2 Exemple : la liaison chimique Potentiel répulsif Potentiel attractif d Position d’équilibre Minimum de l’énergie totale Agitation thermique Faible déplacement autour De la position d’équilibre

13 Parabole approximante d0d0 kT avec AB

14 ( +kx -3bx 2 ) = 0 <<1 Résolution Méthode de perturbation : solution de pulsation  0 + perturbation  (t) Système périodique Décomposition en série de Fourier est une constante (sans dissipation)

15 Par définition ≈0 Un terme constant Un terme harmonique à 2  0 Système forcé 4-3 Méthode de perturbation

16 Toute fonction périodique est décomposable en série de Fourier n=0 fondamental n entier Appliquer à l ’équation différentielle Avec  x 2 <<1 4-4 Série de Fourier

17 x Mouvement de la masse Force de rappel du ressort -kx Force de rappel visqueuse Force d ’excitation F ext k c m x 5-Mise en équation et définitions

18 xx k c m F ext Système forcé amorti Si F ext =0 Système libre amorti Si F ext =0 et c=0 Système libre non amorti

19 5-1 Etude du système libre amorti Solutions de la forme

20 Ecriture réduite Fréquence propre du système non amorti Facteur d ’amortissement Réel ou imaginaire suivant a a<1 régime sinusoïdal amorti a=1 régime amorti critique a>1 régime amorti

21 Décrément logarithmique Exemple de réponse sinusoïdale amortie

22 t x Remarque x0 5-2 Système libre amorti :

23 5-3 Systèmes forcés sinusoïdaux Solution Solution de l’équation sans second membre + particulière = (système libre) 

24 5-4 Systèmes forcés en régime établi

25

26 Remarque 1 : F/k représente la déformation du ressort en statique sous l ’effet d ’une force F soit X Stat Remarque 2 : X passe par un maximum Xm Xm quand Alors Q= coefficient de surtension Remarque 3 : Q est relié a la largeur de la bande passante, c ’est à dire de la largeur pour On vérifiera que

27 5-5 Remarques évidentes a) Sans amortissement un système forcé n ’est pas sinusoïdal X(t)=Acos(   t+  +Bcos  t A et  dépendent des conditions initiales Si par exemple t=0 x = 0 et v=0  Qui n ’est pas périodique

28 Modulation Porteuse

29 b) Approche à la résonance   t 