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Le jeu de la baguette de Buffon Premier exemple de probabilités continues Par Didier Bessot & Didier Trotoux Séminaire de rentrée de lI.R.E.M de Basse.

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1 Le jeu de la baguette de Buffon Premier exemple de probabilités continues Par Didier Bessot & Didier Trotoux Séminaire de rentrée de lI.R.E.M de Basse Normandie – Caen Cahagnes, 30 septembre – 1 er octobre 2011

2 Georges-Louis LECLERC, Comte de BUFFON Extrait de lHistoire naturelle, générale et particulière. Servant de suite à lHistoire Naturelle de lHomme (1777). Supplément, Tome Quatrième. XXIII, pp

3 Le jeu de franc-carreau Les pavages proposés par Buffon

4 Pavé carré – cas 1 Côté du carreau : c Diamètre de lécu : d (Condition implicite : c d) Pavage Carré cas 1

5 Pavé carré – cas 1 Côté du carreau : c Diamètre de lécu : d (Condition implicite : c d) Pavage Carré cas 1 Aire du carreau : c 2

6 Pavé carré – cas 1 Côté du carreau : c Diamètre de lécu : d (Condition implicite : c d) Pavage Carré cas 1 Aire du carreau : c 2 Aire du carré central : (c – d) 2

7 Pavé carré – cas 1 Côté du carreau : c Diamètre de lécu : d (Condition implicite : c d) Pavage Carré cas 1 Aire du carreau : c 2 Aire du carré central : (c – d) 2 Aire de la couronne : c 2 – (c – d) 2 = 2cd – d 2

8 Le sort du premier joueur, qui parie sur franc-carreau est mesuré par laire du carré central, soit (c – d) 2,

9 tandis que celui du joueur pariant sur le fait que lécu rencontre un joint (au moins) est mesuré par laire de la couronne, soit 2cd – d 2. Le sort du premier joueur, qui parie sur franc-carreau est mesuré par laire du carré central, soit (c – d) 2,

10 tandis que celui du joueur pariant sur le fait que lécu rencontre un joint (au moins) est mesuré par laire de la couronne, soit 2cd – d 2. Le sort du premier joueur, qui parie sur franc-carreau est mesuré par laire du carré central, soit (c – d) 2, Les sorts des deux joueurs sont donc égaux si ces aires sont égales, ce qui équivaut à ce que laire du carré central soit moitié de celle du carreau.

11 Rapport c/d pour faire jeu égal

12

13 Configuration des sorts égaux entre joueurs 1 et 2

14 Loi de probabilité du cas 1 La probabilité pour que lécu tombe à franc-carreau est La probabilité pour que lécu tombe sur un joint (au moins) est

15 Le jeu de la baguette

16 Lame Baguette Donnée des dimensions C désigne le quart de la circonférence du cercle de rayon b

17 1 er cas : la bande centrale Baguette 1 Buffon mesure la quantité de positions de la baguette par le produit de laire de la bande par le quart de la circonférence du cercle de rayon b, à savoir par f.(a – b).C.

18 2 d cas : la bande latérale x = I = K Pour une position fixée du milieu de la baguette,, la quantité de positions de la baguette, lorsquelle coupe le joint, est mesurée par la longueur de larc G, notée y par Buffon. Baguette 2

19 x = I = K Lorsque le milieu de la baguette parcourt le segment fixé [IK], la quantité de positions de la baguette, lorsquelle coupe le joint, est mesurée par la somme des longueurs des arcs G, notée par Buffon. Baguette 2 2 d cas : la bande latérale (suite 1) Plus précisément, cette somme est ici notée

20 2 d cas : la bande latérale (suite 2) x = I = K Lorsque le milieu de la baguette parcourt le rectangle ABba, la quantité de positions de la baguette, lorsquelle coupe le joint, est mesurée par le produit de par la longueur f de la lame, notée par Buffon. Baguette 2

21 2 d cas : la bande latérale (suite 3) x = I = K Lorsque le milieu de la baguette parcourt le rectangle ABba, la quantité totale de positions de la baguette est mesurée par le produit de laire du rectangle ABba par la longueur de larc H, noté f.b.C. Donc la quantité de positions de la baguette, lorsquelle ne coupe pas le joint, est mesurée par Baguette 2

22 Bilan

23 La baguetteLa quantité de positions est mesurée par ne coupe pas le joint (joueur 1) coupe le joint (joueur 2)

24 Bilan La baguetteLa quantité de positions est mesurée par ne coupe pas le joint (joueur 1) coupe le joint (joueur 2)

25 Bilan La baguetteLa quantité de positions est mesurée par ne coupe pas le joint (joueur 1) coupe le joint (joueur 2)

26 Bilan La baguetteLa quantité de positions est mesurée par ne coupe pas le joint (joueur 1) coupe le joint (joueur 2)

27 Condition dun jeu égal

28 Il y a donc jeu égal entre les deux joueurs si

29 Condition dun jeu égal Il y a donc jeu égal entre les deux joueurs si Ce qui équivaut à

30 Condition dun jeu égal Il y a donc jeu égal entre les deux joueurs si Ce qui équivaut à soit

31 Mais comment évaluer ? Voici la réponse de Buffon : […]

32 Mais comment évaluer ? Voici la réponse de Buffon : […]

33 Mais comment évaluer ? Voici la réponse de Buffon : […]

34 Deux questions à résoudre

35 1)Identifier la partie de cycloïde concernée

36 Deux questions à résoudre 1)Identifier la partie de cycloïde concernée 2) Montrer que son aire vaut le carré sur le rayon du cercle générateur

37 Quest-ce quune cycloïde ? Définition de la Cycloïde

38 Deux propriétés simples mais utiles de la cycloïde

39 1. Propriété caractéristique Arc DN = NM Cycloïde Propriété Caractéristique 1

40 (Dé)monstration

41 Arc RH = EH

42 (Dé)monstration Arc RH = EH Or Arc RH = arc MK

43 (Dé)monstration Arc RH = EH Or Arc RH = arc MK = arc ND

44 (Dé)monstration Arc RH = EH Or Arc RH = arc MK = arc ND Et EH = QP

45 (Dé)monstration Arc RH = EH Or Arc RH = arc MK = arc ND Et EH = QP = QN + NP

46 (Dé)monstration Arc RH = EH Or Arc RH = arc MK = arc ND Et EH = QP = QN + NP = MP + PN

47 (Dé)monstration = MN Arc RH = EH Or Arc RH = arc MK = arc ND Et EH = QP = QN + NP = MP + PN

48 (Dé)monstration = MN Donc Arc DN = NM Arc RH = EH Or Arc RH = arc MK = arc ND Et EH = QP = QN + NP = MP + PN

49 2. Construction de la tangente Point M sur la cycloïde N Tangente

50 2. Construction de la tangente Point M sur la cycloïde La parallèle à (BE) par M coupe le cercle en N N Tangente

51 2. Construction de la tangente Point M sur la cycloïde La parallèle à (BE) par M coupe le cercle en N N La parallèle à (DN) par M est la tangente à la cycloïde en M Tangente

52 2. Construction de la tangente Point M sur la cycloïde La parallèle à (BE) par M coupe le cercle en N N La parallèle à (DN) par M est la tangente à la cycloïde en M Tangente

53 SOMMATION DE TOUS LES ARCS G CONTENUS DANS H Partie Cycloïde

54 SOMMATION DE TOUS LES ARCS G CONTENUS DANS H Partie Cycloïde = aire de la corne MQHG

55 AIRE DU TRIANGLE MIXTILIGNE DHM = AIRE DU SEGMENT CIRCULAIRE DN Parties égales

56 A (corne HQ) = A ( HQR) – A (segm H) – A (tril RQ) = A ( HQR) – 2 A (segm H)

57 Aire du parallélogramme HQR TS Aire ( HQR) = Aire ( THQS) (Euclide, I, 35) Aire parallélogramme 1

58 Aire du parallélogramme HQR TS Aire ( HQR) = Aire ( THQS) (Euclide, I, 35) Aire parallélogramme 1

59 Aire du parallélogramme HQR (2) Rappel (daprès Archimède, La Mesure du cercle, prop. 1) Laire dun disque est celle du triangle rectangle ayant pour côtés de langle droit : * la circonférence du disque * le rayon du disque

60 Aire du parallélogramme HQR (2) Rappel (daprès Archimède, La Mesure du cercle, prop. 1) Laire dun disque est celle du triangle rectangle ayant pour côtés de langle droit : * la circonférence du disque * le rayon du disque

61 Donc laire dun disque est celle du rectangle ayant pour côtés : * la demi circonférence du disque * le rayon du disque Aire du parallélogramme HQR (3) (Euclide, I, 41)

62 Donc laire du rectangle ayant pour côtés : * le quart de la circonférence du disque * le rayon du disque est celle du demi disque Aire du parallélogramme HQR (4)

63 Donc laire du parallélogramme HQR est égale à celle du demi disque HE. Aire du parallélogramme HQR (5)

64 Donc laire de la corne HQ, égale à celle du parallélogramme HQR diminuée du double de laire du segment H, est égale à laire du demi disque diminuée de celles des segments de disque H et HE, donc à celle du triangle HE, elle-même égale à celle du carré sur le rayon OH.Cqfd

65 Conclusion ce que Buffon exprime par :

66 Loi de probabilité du jeu de la baguette La probabilité pour que la baguette rencontre un joint est


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