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Analyse des circuits électriques -GPA220- Cours #11: Systèmes de deuxième ordre (2ième partie) Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge.

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1 Analyse des circuits électriques -GPA220- Cours #11: Systèmes de deuxième ordre (2ième partie) Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

2 Cours #11 Retour sur le cours #10: Système de deuxième ordre: Circuit RLC en parallèle: réponse naturelle (cas 1) Correction du quiz #3 Théorie du cours #11: Système de deuxième ordre: Circuit RLC en parallèle: réponse à léchelon (cas 2) Circuit RLC en série: réponse naturelle (cas 3) Circuit RLC en série: réponse à léchelon (cas 4) 2 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

3 3 Retour sur le cours #10

4 Jean-Philippe Roberge - Janvier Retour sur le cours #10 (1) Un système de deuxième ordre est un système dont la dynamique sexprime à laide dune équation où intervient la dérivée deuxième dune variable. La forme générale: Les systèmes dordre 2 sont très répandus dans le domaine du génie! Exemple : Soit u le couple appliqué au bras afin de positionner la tête de lecture et y le déplacement angulaire qui en résulte: Exemple et image tirés des notes de cours dELE3202 – École Polytechnique de Montréal

5 Retour sur le cours #10 (2) Jean-Philippe Roberge - Janvier La réponse dun système dordre 2 peut prendre plusieurs formes, dépendament du taux damortissement: Image tirée de: mons/4/4f/Second_order_transfer_functio n.svg

6 Retour sur le cours #10 (3) Jean-Philippe Roberge - Janvier Solution générale dune équation différentielle dordre 2, homogène, linéaire à coefficients constants: Pour les circuits RLC en parallèle :

7 Retour sur le cours #10 (4) Jean-Philippe Roberge - Janvier Il existe trois types de réponses, dépendamment de la valeur du taux damortissement:

8 Jean-Philippe Roberge - Janvier Pour trouver la solution v(t) du système de deuxième ordre, dépendament de ζ…

9 Jean-Philippe Roberge - Janvier Retour sur le cours #10 (5) 1er cas: ζ >1 (réponse sur-amortie), alors les racines (s 1 et s 2 ) sont réelles et négatives. Pour trouver la valeur de A 1 et de A 2, il suffit alors dutiliser les deux conditions initiales: Or on sait que:

10 Jean-Philippe Roberge - Janvier Retour sur le cours #10 (6) 2ième cas: ζ <1 (réponse sous-amortie), les racines s 1 et s 2 seront alors complexes: Qui peut se ré-écrire sous la forme: Où w d se nomme la fréquence naturelle amortie. À partir dEuler, on obtient: Pour trouver B 1 et B 2 on utilise aussi les conditions initiales:

11 Retour sur le cours #10 (7) Jean-Philippe Roberge - Janvier ième cas: ζ =1, nous sommes dans une situation particulière qui se nomme amortissement critique. Dans cette situation unique, les racines s 1 et s 2 sont réelles et égales: Pour trouver les valeurs de D 1 et D 2 on utilise aussi les conditions initiales: Prenez garde à la forme!

12 Retour sur le cours #10 (8) Petit récapitulatif… Jean-Philippe Roberge - Janvier Nous avons trouvé la tension entre les noeuds dun RLC parallèle lorsque lon déconnecte une source et que le circuit possède de lénergie. En connaissant v(t), on connait la dynamique du système, cest-à-dire quil est alors possible de déterminer directement i L (t), i R (t) et i C (t) à partir des formules que nous avons vu précédemment (Inductance, loi dOhm et capacitance).

13 Retour sur le cours #10 (8) Petit récapitulatif… Jean-Philippe Roberge - Janvier Sommaire de lexpression de v(t) dépendamment du taux damortissement ζ : **Tiré du livre, page 299.

14 Jean-Philippe Roberge - Janvier Correction du quiz #3

15 Jean-Philippe Roberge - Janvier Cours #11

16 Réponse à léchelon dun circuit RLC parallèle (1) Jean-Philippe Roberge - Janvier Nous avons trouvé la tension entre les noeuds dun RLC parallèle lorsque lon déconnecte une source et que le circuit possède de lénergie. Étudions maintenant le cas où lon connecte une source. Exprimez v(t) en fonction de C, R et L:

17 Réponse à léchelon dun circuit RLC parallèle (2) Jean-Philippe Roberge - Janvier En résumé, la réponse à léchelon nest pas bien plus compliqué que la réponse naturelle. La réponse à léchelon possède une forme très similaire:

18 Réponse naturelle dun circuit RLC série (1) Jean-Philippe Roberge - Janvier Exprimer v(t) en fonction des paramètres R, L et C du circuit ci-dessous:

19 Réponse naturelle dun circuit RLC série (2) Jean-Philippe Roberge - Janvier En résumé, la forme des équations est la même que dans le cas des circuits RLC parallèle: Excepté que pour les circuits RLC en série, α est différent:

20 Réponse à léchelon dun circuit RLC série (1) Jean-Philippe Roberge - Janvier Ce sont les mêmes équations que montrées précédement:

21 Références [1] Présentations PowerPoint du cours GPA220, Vincent Duchaine, Hiver 2011 [2] NILSSON, J. W. et S.A. RIEDEL. Introductory Circuits for Electrical and Computer Engineering, Prentice Hall, [3] Wildi, Théodore. Électrotechnique, Les presses de lUniversité Laval, 3ième édition, 2001 [4] Floyd, Thomas L. Fondements délectrotechnique, Les éditions Reynald Goulet inc., 4ième édition, Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014


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