DISTANCE - TANGENTE - BISSECTRICE

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1 DISTANCE - TANGENTE - BISSECTRICE
I DISTANCE D’UN POINT A UNE DROITE 1° Définition. La distance d’un point A à une droite d est la plus petite longueur possible entre A et un point quelconque de la droite d d 2° Activité A m1 m2 m3 m4 Conjecture: Am4 semble être la distance La plus courte m5

2 ♦ On construit A’ ,symétrique de A par rapport M
Démonstration ♦ Soit H le pied de perpendiculaire à (d) passant par A ♦ On construit A’ ,symétrique de A par rapport à la droite (d) M ♦ Donc (d) est la médiatrice du segment [ AA’] ♦ Donc AM =MA’ et AH = HA’ A A’ ♦ Dans le triangle AMA’ on a : H AA’ < AM +MA’ Inégalité triangulaire (5ème) d AH +HA’ < AM +MA’ AH +AH < AM + AM 2AH < 2AM AH < AM géoplan

3 Propriété : Soit (d) une droite et A un point. Soit H le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A. La longueur AH est la distance du point A à la droite (d)

4 II TANGENTE A UN CERCLE 1° Position relative d’un cercle et d’une droite Activité 3 page 184 d d d Un seul point commun Deux points communs Aucun point commun 2° Définition Soit C un cercle et A un point du cercle. La tangente en A au cercle C est la droite dont le seul point commun avec ce cercle est le point A

5 géoplan 3° Propriété La tangente en A à un cercle C de centre O est la perpendiculaire en A au rayon [OA] ∆ O A

6 III BISSECTRICE 1° Définition
La bissectrice d’un angle est la droite ( ou la demi droite) qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. 2° Construction Géoplan

7 3° Propriété a) Activité. Tracer un angle AÔB de mesure quelconque et sa bissectrice ∆ Placer sur la bissectrice ∆ trois points M ; N ; P. Tracer les perpendiculaires aux demi droites [Ox) et [Oy) passant par les points M ; N ; P. Que peut-on dire des distances des points M ; N ; P aux demi droites [Ox) et [Oy)? Géoplan

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9 Propriétés Nous admettons: a ) Si un point appartient à la bissectrice d’un angle alors il est équidistant des côtés de l’angle. Réciproquement. b ) Si un point est équidistant des deux côtés d’un angle alors il appartient à la bissectrice de l’angle.

10 Géoplan 4° Cercle inscrit dans un triangle. Tracer un triangle ABC et les bissectrices des angles Les trois bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle