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DISTANCE - TANGENTE - BISSECTRICE I DISTANCE DUN POINT A UNE DROITE 1° Définition. La distance dun point A à une droite d est la plus petite longueur possible.

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1 DISTANCE - TANGENTE - BISSECTRICE I DISTANCE DUN POINT A UNE DROITE 1° Définition. La distance dun point A à une droite d est la plus petite longueur possible entre A et un point quelconque de la droite d 2° Activité A d m1m1 m2m2 m4m4 m3m3 m5m5 Am 4 semble être la distance La plus courte Conjecture:

2 Démonstration On construit A,symétrique de A par rapport à la droite (d) Donc (d) est la médiatrice du segment [ AA] d A M H Soit H le pied de perpendiculaire à (d) passant par A Donc AM =MA et AH = HA A Dans le triangle AMA on a : AA < AM +MA AH +HA < AM +MA AH +AH < AM + AM 2AH < 2AM AH < AM Inégalité triangulaire (5 ème ) géoplan

3 Propriété : Soit (d) une droite et A un point. Soit H le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A. La longueur AH est la distance du point A à la droite (d)

4 II TANGENTE A UN CERCLE 1° Position relative dun cercle et dune droite Activité 3 page 184 © © © d dd Aucun point commun Un seul point commun Deux points communs 2° Définition Soit C un cercle et A un point du cercle. La tangente en A au cercle C est la droite dont le seul point commun avec ce cercle est le point A

5 3° Propriété géoplan La tangente en A à un cercle C de centre O est la perpendiculaire en A au rayon [OA] O A

6 III BISSECTRICE 1° Définition La bissectrice dun angle est la droite ( ou la demi droite) qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. 2° ConstructionGéoplan

7 3° Propriété a) Activité. Tracer un angle AÔB de mesure quelconque et sa bissectrice Placer sur la bissectrice trois points M ; N ; P. Tracer les perpendiculaires aux demi droites [ Ox) et [Oy) passant par les points M ; N ; P. Que peut-on dire des distances des points M ; N ; P aux demi droites [Ox) et [Oy)? Géoplan

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9 Propriétés Nous admettons: a ) Si un point appartient à la bissectrice dun angle alors il est équidistant des côtés de langle. Réciproquement. b ) Si un point est équidistant des deux côtés dun angle alors il appartient à la bissectrice de langle.

10 4° Cercle inscrit dans un triangle. Tracer un triangle ABC et les bissectrices des angles Géoplan Les trois bissectrices des angles dun triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle 0


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