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Équations différentielles Partie 1 Objectifs Connaître la définition dune équation différentielle Résoudre des équations différentielles (recherche de.

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1 Équations différentielles Partie 1 Objectifs Connaître la définition dune équation différentielle Résoudre des équations différentielles (recherche de la solution générale) Bien saisir limportance de la constante dintégration et la définition des courbes intégrales ou famille de courbes Déterminer une solution particulière Déterminer la famille de courbes orthogonales

2 2 Introduction sur les équations différentielles On a une variable y dépendante dune variable x (y est fonction de x) pour laquelle on ne connaît pas la relation entre elles. Mais on connaît une loi régissant les variations de y par rapport à celles de x. Cette loi est décrite par une équation appelée équation différentielle. À partir de cette loi, nous aimerions trouve la relation entre les variables y et x. Au début du calcul différentiel (vers ), on sen servait pour résoudre des problèmes de géométrie comme la détermination dune courbe dont les tangentes sont soumises à une condition donnée. Vers 1730, le mathématicien suisse Leonhard Euler les utilisent dans le traitement des problèmes de dynamique. Exemple Trouvez une courbe passant par le point (2,4) dont la pente de la tangente à la courbe en tout point (x, y) est égale à lordonnée du point. On obtient alors. À partir de cette relation, il faudra trouver lexpression liant y à x. De nos jours, les équations différentielles constituent l'un des principaux outils mathématiques et interviennent dans la modélisation de plusieurs phénomènes ( position d'une navette spatiale, charge d'un condensateur électrique, concentration d'un produit lors d'une réaction chimique, concentration dun médicament dans lorganisme, désintégration radioactive, débit du sang dans une artère, croissance d'une population, pollution, …). Ces équations sont le lot quotidien dun grand nombre dingénieurs, de scientifiques, déconomistes, dactuaires, … Sans elles, que serait devenue la science?

3 3 Définitions Une équation différentielle est une équation qui met en relation une variable indépendante x, une fonction inconnue y=f(x) ainsi que ses dérivées successives: y, y, …, y (n). Lordre dune équation différentielle est celui de la dérivée dordre le plus élevé intervenant dans léquation. Résoudre analytiquement une équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions y qui vérifient cette équation différentielle. Toute fonction satisfaisant une équation différentielle est appelée solution de cette équation différentielle. Les fonctions qui satisfont léquation sont :

4 4 Définitions (suite…) Une solution générale est la fonction Résoudre analytiquement une équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions y qui vérifient cette équation différentielle. Toute fonction satisfaisant une équation différentielle est appelée solution de cette équation différentielle. Lensemble des fonctions vérifiant une équation différentielle constitue une famille de courbes pouvant être décrite par une fonction générale comportant autant de constantes que lordre de léquation. Cette fonction générale est appelée la solution générale de léquation différentielle. Chaque membre de la famille de courbes, obtenu en donnant des valeurs particulières aux constantes est appelée solution particulière de léquation différentielle. Une solution particulière est généralement déduite de la solution générale en imposant certaines conditions, dites conditions initiales, sur les valeurs de la fonction ou des dérivées selon lordre de léquation différentielle. Par exemple, si x=x 0 alors y=y 0 dans le cas dune équation différentielle dordre 1. Par exemple, si x=x 0 alors y=y 0 et y=y 0 si léquation différentielle est dordre 2.

5 5 Solution dune E.D. La solution dune E.D. est une famille de courbes satisfaisant à cette E.D. Lordre dune E.D. est égal à lordre de la dérivée dordre le plus élevé. Le degré dune E.D. est égal à lexposant de la dérivée dordre le plus élevé Une E.D. dordre n possèdera n constantes dintégration arbitraires

6 6 E.D. à variables séparables (dordre 1) Séparer les variables (regrouper chaque variable avec sa différentielle; les différentielles doivent être au numérateur) Intégrer chacun des membres de léquation Exprimer une variable en fonction de lautre Sil y a lieu, trouver la valeur de la constante dintégration Pour résoudre une E.D. à variables séparables dordre 1 il faut:

7 7 Exemple

8 8 Exercices


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