La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Démonstrations géométriques. D E F H 10 5 Une des difficultés en géométrie est que : - parfois, il faut voir des informations qui ne sont pas inscrites;

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Démonstrations géométriques. D E F H 10 5 Une des difficultés en géométrie est que : - parfois, il faut voir des informations qui ne sont pas inscrites;"— Transcription de la présentation:

1 Démonstrations géométriques

2 D E F H 10 5 Une des difficultés en géométrie est que : - parfois, il faut voir des informations qui ne sont pas inscrites; exemple :Dans le triangle suivant, que vaut la mesure de langle ABC ? A B C - parfois, il ne faut pas voir des informations inscrites; exemple : Dans le triangle suivant, que vaut la mesure de langle DFE ? Pour mieux déduire cette mesure, il faut être capable de ne pas voir le segment HF. Langle ABC mesure 90 0, car la somme des mesures des angles intérieurs dun triangle vaut Il faut donc un bon sens dobservation.

3 La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les propriétés des figures et leurs relations. Pour démontrer ces propriétés, elle fait appel à différents énoncés : Exemples : - des axiomes; - des conjectures; - des théorèmes. Les axiomes sont des énoncés considérés comme évidents et acceptés comme vrais. - le segment de droite représente le plus court chemin entre deux points; - par deux points ne passe quune seule droite.

4 Il est possible de percevoir des propriétés ou des relations qui ne sont pas du tout évidentes et qui peuvent même se révéler fausses. De tels énoncés sont appelés « conjectures ». Exemple : Jusquau XVII e siècle, on croyait que la Terre était le centre de lUnivers, comme lavait proposé Aristote. Cétait une conjecture qui avait été longtemps acceptée comme vrai jusquau jour où Copernic et Kepler remettent en cause cette conception de lUnivers. Les conjectures peuvent servir de pistes de travail pour chercher ou démontrer certaines réalités. Cependant, pour ninduire personne en erreur, on se donne lobligation de démontrer leur véracité ou leur fausseté. Pour être vraie, une conjecture doit sappliquer à tous les cas. Par contre, pour montrer quune conjecture est fausse, il suffit de trouver un cas qui la contredit. Ce cas est appelé un contre-exemple.

5 Exemple : On pourrait émettre la conjecture suivante : « Si cest un œuf, alors il a été pondu par un oiseau. » Cependant, les tortues pondent des œufs et elle ne sont pas des oiseaux. Ce contre-exemple rend la conjecture fausse. Lorsquune conjecture est démontrée, elle devient un théorème. On démontre en établissant une preuve.

6 Voici quelques théorèmes : La somme des mesures des angles intérieurs dun triangle = Une bissectrice est une droite divisant un angle en deux angles isométriques (congrus). Dans un triangle rectangle possédant un angle de 30 0, la mesure du côté qui fait face à langle de 30 0 vaut la moitié de la mesure de lhypoténuse. Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires (la somme de leurs mesures = ). Nous allons les utiliser pour démontrer quelques situations.

7 Exemple 1 : Ce quil faut prouver est toujours la dernière étape de la démarche. AC 10 cm 5 cm B D Affirmations Justifications Étape 1 : m BAC = 30 0 Dans le triangle rectangle suivant : AD est une bissectrice; Quelle est la mesure de ? DAC Étape 2 : m DAC = 15 0 La démarche consiste à justifier (par des axiomes, des énoncés ou des informations données dans le problème) chaque affirmation. Si dans un triangle rectangle, la mesure dun côté vaut la moitié de la mesure de lhypoténuse, alors langle qui fait face à ce côté vaut ) Car AD est une bissectrice. 2) On regarde attentivement la figure. ?

8 Exemple 2 : A B CD Dans le triangle rectangle suivant, que vaut la mesure de langle BAC ? Affirmations Justifications 1) m ABC = 90 0 Le triangle est rectangle. 1) 2) m ACB = ) Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires. 3) m BAC = 45 0 La somme des mesures des angles intérieurs dun triangle = ) ? 45 0

9 Tu auras besoin de symboles mathématiques pour effectuer ce travail. Voici les principaux à apprendre (du moins au début !!!!!). Langle C : C La mesure de langle C est de 60 0 : m C = 60 0 A BC D Remarque Quand les figures sont plus complexes, il faut utiliser utilise 3 lettres pour éviter la confusion ACBACD Le triangle ABC : ABC : angle formé par les segments AC et CB; C étant le sommet.

10 A BC Le segment AB : m AB = 5 cm AB La mesure du segment AB est de 5 cm : 5 cm A B Larc AB : AB 4 cm La mesure de larc AB est de 4 cm : AB m = 4 cm d1d1 d2d2 La droite d 1 est parallèle à la droite d 2 :d 1 // d 2 La droite d 1 est perpendiculaire à la droite d 2 : d 1 d 2 d1d1 d2d2

11 30 0 Exemple 3 :Dans un triangle rectangle possédant un angle de 30 0, la mesure du côté qui fait face à langle de 30 0 vaut la moitié de la mesure de lhypoténuse. Voici une démonstration qui prouve cet énoncé. Construisons un triangle équilatéral de 8 cm de côté. A C B 8 cm Traçons laxe de symétrie passant pas le sommet C. Nommons-le CD. D Affirmations Justifications 1) m CDA = ) Laxe de symétrie dun triangle équilatéral est aussi une médiatrice. m AD = 4 cm 4 cm 2) m ACD = ) Laxe de symétrie dun triangle équilatéral est aussi la bissectrice de langle par lequel il passe. 3)Donc, la mesure du côté face à un angle de 30 0 dans un triangle rectangle vaut la moitié de la mesure de lhypoténuse. 3)C.q.f.d.(Ce quil fallait démontrer). Un triangle équilatéral possède 3 angles de 60 0.

12 Il y a beaucoup dénoncés à connaître; les savoir est essentiel pour prouver tes affirmations. De plus, ces énoncés bien mémorisés taideront à comprendre les différentes situations et à élaborer tes démonstrations. Tu retrouveras plusieurs énoncés dans la présentation : Quelques énoncés géométriques.ppt Remarques Dans cette dernière démonstration, il fallait connaître les énoncés suivants : - une médiatrice est un segment élevé perpendiculairement sur le milieu dun autre segment; - laxe de symétrie dun triangle équilatéral est aussi une médiatrice et la bissectrice de langle du sommet doù il origine; - une bissectrice est une droite divisant un angle en deux angles isométriques. - un triangle équilatéral possède trois angles de 60 0 ;


Télécharger ppt "Démonstrations géométriques. D E F H 10 5 Une des difficultés en géométrie est que : - parfois, il faut voir des informations qui ne sont pas inscrites;"

Présentations similaires


Annonces Google