TP 11 - Fonctions de deux variables II

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1 TP 11 - Fonctions de deux variables II
8/04/2017 TP MATH-G-1101 TP 11 - Fonctions de deux variables II

2 Introduction Durée du TP: 3h Questions? Souhaits? Rappel de la théorie
Correction de certains exercices à préparer Test en classe Correction du test Questions? Souhaits? Envoyer un mail (quelques jours à l’avance)

3 Rappel Fonctions à plusieurs composantes (vectorielles). Ex. 1 : (x,y)  (y+1, x+2y+1, x2-3) (2 variables, 3 composantes) Ex. 2 : (r,)  (r cos, r sin) transformation coordonnées polaires – coordonnées cartésiennes (2 variables, 2 composantes) Pour ces fonctions la notion de dérivée s’élargit en celle de matrice jacobienne de la fonction : c’est la matrice des dérivées partielles des composantes (une ligne pour les dérivées de chaque composante, dans l’ordre) : Dans le cas des transformations de variables la matrice jacobienne est carrée.

4 Rappel Soit f(x, y)0 et D un sous-ensemble de l’ensemble de définition de f. L’intégrale double de f sur D, noté est le volume V du solide délimité par la surface représentative de f et le domaine d’intégration D. Si f=0 en D : I = 0, si f≤0 en D : I = -V. Si f change de signe en D : I = V1-V2 ou V1 et V2 sont les volumes relatifs respectivement à la partie positive et à la partie négative de la surface. Si f=k (constante) : I = k ∙ Aire de D Si D est le domaine simple : Ce calcul se fait en 2 étapes : d’abord l’intégrale en dy (entre parenthèses) en traitant x comme une constante ; ensuite une deuxième intégrale définie d’une fonction en x.

5 Rappel Si D est le domaine simple :
Parmi les domaines simples il y a évidemment les rectangles. Si D a une autre forme on cherche un changement de variable qui le transforme, si possible, en un domaine simple. Ex. Passage en coordonnées polaires (x=r cosθ, y=r sinθ) : où est le domaine transformé et r est le « Jacobien » de la transformation, i.e. le déterminant de la matrice carrée jacobienne de la transformation (jouant le même rôle que la dérivée pour les changements de variables dans les intégrales de fonctions en une seule variable).

6 Ex.1 Exercices supplémentaires
Une fonction constante 3 est intégrée sur une aire qui vaut 4x6  l’intégrale vaut 3x4x6 = 72. Une fonction constante -2 est intégrée sur une aire qui vaut 3x1  l’intégrale vaut (-2)x3x1 =-6. Une fonction constante 1 est intégrée sur une aire qui vaut pr²=p3²=9p  l’intégrale vaut 1x9p = 9p. La fonction f(x,y)=x étant impaire sur en [-1,1]  l’intégrale vaut 0.

7 Ex.2 Exercices supplémentaires
(b)

8 Ex.2 Exercices suppl. (suite)
(c) On peut écrire D comme suit : Puisque D est un domaine simple on calcule :

9 Ex.2 Exercices suppl. (suite)
(d) Le passage en coordonnées polaires permet de changer D dans le domaine simple suivant :

10 Ex.2 Exercices suppl. (suite)
(e) D est domaine simple par rapport à x et à y. Par rapport à x : Par rapport à y :

11 Ex.3 Exercices supplémentaires
Le schéma de S est celui d’un paraboloïde (on peut le reconnaître à l’aide de ses intersections avec des plans parallèles aux plans coordonnés). Le volume entre le plan z=0 et S est le solide en couleur. L’intersection avec le plan z=0 donne le cercle de rayon √2. En passant aux coordonnée polaires :

12 Ex.4 Exercices supplémentaires
Le schéma de S est celui d’un hyperboloïde à 1 nappe. Les intersections avec z=0 et z=4 donnent respectivement : x2+y2=9 et x2+y2=25, i.e. des cercles de rayon 3 et 5. Le domaine d’intégration est alors : La fonction à intégrer est :

13 Ex.4 Ex. suppl. (suite) Pour le calcul il est utile le passage en coordonnées polaires, car le domaine devient un rectangle :

14 Test 11 V1=1m3 < V2=πr2∙h=0.5π. C’est bien le cylindre 1.
On obtient :

15 Test 11 Si on nomme x l’inconnue, on déduit :
43. Au maximum il y a 12 étudiants nés en 1994 et 365 nés en Par conséquent =43 sont au minimum les nés en 1996.

16 Test 11 C. où on applique la formule :

17 Test 11 E. Si c’est faux d’avoir réussi au moins 3 lancers, ça signifie que j’ai réussi max 2 lancers et par conséquent j’en ai raté au moins 3. D.

18 Test 11 A. La fonction valeur absolue est déplacée à gauche d’une unité. E. Les limites droite et gauche sont différentes :