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Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Le théorème de Pythagore Une initiation pour petits et grands.

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2 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Le théorème de Pythagore Une initiation pour petits et grands

3 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Mode demploi On peut laisser aller lanimation, mais les boutons permettent daccéder aux différents sujets : Revenir au début Revoir la démonstration Exemples dutilisation de la relation Quelques informations sur les carrés Les triplets de Pythagore

4 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Il était une fois, Un triangle rectangle.

5 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Son hypoténuse Opposée à langle droit

6 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Si on trace deux côtés perpendiculaires Le triangle est formé. Le troisième côté nous est imposé par la construction. Sa longueur dépend donc des longueurs choisies pour les deux premiers côtés. Mais de quelle manière? Cest le sujet traité ici.

7 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Le carré de lhypoténuse. (c'est à dire dont le côté est l'hypoténuse)

8 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Les carrés des deux côtés de langle droit.

9 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter + =

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13 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Théorème de Pythagore La place occupée par le grand carré (son aire) est la même que celle des deux plus petits carrés assemblés. En langage mathématique : Le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. X² + Y² = Z² x y z

14 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Prenons un exemple: Prenons un triangle rectangle. 25 cm² Si un côté mesure 3 cm. 3 cm Le carré construit sur ce côté mesure 9 cm². 9 cm² Si lautre côté mesure 4 cm. 4 cm Le carré construit sur ce côté mesure 16 cm². 16 cm² La somme des aires de ces deux carrés est de = 25 cm². Donc le carré construit sur lhypoténuse mesure 25 cm². Donc lhypoténuse mesure 5 cm, car 5 5 = cm 3² + 4² = 5². 3 cm 4 cm

15 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Par quel miracle cette situation est-elle possible?

16 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Voici une «démonstration»!

17 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On s intéresse à la moitié de lun des deux petits carrés.

18 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire dun triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.

19 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire dun triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.

20 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire dun triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.

21 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire dun triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.

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35 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire dun triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.

36 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Pourquoi? Laire dun triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé. Suite

37 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire dun triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé. Suite

38 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire dun triangle ne varie pas quand on le fait tourner autour dun point.

39 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire dun triangle ne varie pas quand on le fait tourner autour dun point.

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54 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire dun triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.

55 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Donc les deux triangles orange ont la même aire.

56 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Si on double l aire de ces deux triangles: Alors on complète le carré Et on complète aussi le rectangle.

57 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire du carré.. … laire du rectangle. est donc la même que …

58 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On procède de la même manière pour lautre carré.

59 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On le déplace

60 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On le déplace

61 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On le déplace

62 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On le déplace

63 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On le déplace

64 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On le fait tourner

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70 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On le déplace

71 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On le déplace

72 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On double les aires

73 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Laire du carré.. … laire du rectangle. est la même que …

74 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Donc, finalement, le grand carré est rempli par les deux petits.

75 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Une autre manière de voir cette propriété. Dans un carré donné, On place quatre triangles rectangles identiques. Qui laissent apparaître une surface non occupée Qui est un carré dont le côté est lhypoténuse des triangles rectangles. Cest donc le carré de lhypoténuse.

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100 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Ainsi sont apparus les carrés des deux côtés de langle droit.

101 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Le carré de lhypoténuse

102 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Est égal à La somme des deux autres carrés

103 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter = Le carré de lhypoténuse Est égal à La somme des deux autres carrés

104 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter D autres exemples d utilisation de la propriété de Pythagore

105 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Dautres exemples dutilisation de la propriété de Pythagore

106 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter 21 cm 20 cm 29 cm 20² + 21² = = 841 et = 841

107 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter 15 cm 8 cm 17 cm 8² + 15² = = 289 et = 289

108 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter 24 cm 25 cm 7 cm 25² 24² = = 49 et 7 7 = 49

109 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Ce sont des exemples de trois longueurs entières qui permettent de construire des triangles rectangles. On les appelle des triplets Pythagoriciens. On peut créer des triplets Pythagoriciens. Comment? Suite

110 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Généralisation La figure construite sur lhypoténuse est équivalente à la somme des figures semblables construites sur les deux côtés de langle droit.

111 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Généralisation La figure construite sur lhypoténuse est équivalente à la somme des figures semblables construites sur les deux côtés de langle droit.

112 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Comment obtenir un carré deux fois plus grand? 1 a2a 2 34 laire du carré est, non pas deux fois, mais quatre fois plus grande. Si on double la longueur du côté Il faut donc trouver autre chose….

113 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Il suffit de construire la diagonale du carré. Puis le carré en prenant cette diagonale pour côté. a Si a est le côté du petit carré, le carré de lhypoténuse est a² + a² = 2 a² a² 2a² En savoir plus sur les carrés

114 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Il suffit de construire la diagonale du carré. Puis le carré en prenant cette diagonale pour côté. a Si a est le côté du petit carré, le carré de lhypoténuse est a² + a² = 2 a² a² 2a²

115 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Quest-ce quune racine carrée? 7 cm 4 cm Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de langle droit mesurent 4 cm et 7 cm, On calcule la longueur de lhypoténuse par la relation de Pythagore: h h² = 4² + 7² = = 65 Pour connaître la valeur de h, on cherche un nombre dont le carré est égal à 65. Il n existe pas de nombre entier qui réponde à cette situation. Par définition, on appelle «racine carrée» de 65 le nombre cherché. On le note

116 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Pour en savoir plus sur les racines carrés, consulter, dans la même collection Pythagore et les racines

117 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Clique là bas

118 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Les triplets de Pythagore. Pour que les trois côtés du triangle vérifient la relation de Pythagore, on ne peut pas les choisir au hasard. Des formules permettent de les fabriquer par le calcul. x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b x, y et z sont les longueurs des côtés, quand on prend des valeurs entières pour a et pour b

119 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b ab On donne des valeurs à a et à b. On calcule x, y et z avec ces valeurs. x = + = y = - = z = 2 = a²b² a² b² ab

120 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On calcule x, y et z avec ces valeurs. On donne des valeurs à a et à b. x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b ab x = + = y = - = z = 2 = 2²2²1²1² On vérifie la relation de Pythagore. 21 2²2²1²1² = = 3 4 3² + 4² = = 25 et 5² = 25, donc x² = y² + z² On obtient le triplet (3, 4, 5)

121 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On calcule x, y et z avec ces valeurs. On donne dautres valeurs à a et à b. x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b ab x = + = y = - = z = 2 = 3²3²1²1² On vérifie la relation de Pythagore. 31 3²3²1²1² = = 8 6 8² + 6² = = 100 et 10² = 100, donc x² = y² + z² On obtient le triplet (6, 8, 10)

122 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter On calcule x, y et z avec ces valeurs. On donne dautres valeurs à a et à b. x = a² + b² y = a² - b² z = 2 a b ab x = + = y = - = z = 2 = 5²5²3²3² On vérifie la relation de Pythagore. 53 5²5²3²3² = = ² + 30² = = 1156 et 34² = 1156, donc x² = y² + z² On obtient le triplet (16, 30, 34) Retour

123 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter H auteur Laire du triangle. C ôté Son aire : A = 1/2 C H Si on déplace un sommet sur une parallèle au côté... Le côté et la hauteur ne changent pas, donc laire non plus. H auteur Retour H auteur

124 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Pythagore Pythagore (v.570-v.490av.J.-C.), philosophe et mathématicien grec dont les doctrines exercèrent une profonde influence sur Platon. Originaire de l'île de Samos, Pythagore fut initié aux enseignements des premiers philosophes ioniens Thalès, Anaximandre et Anaximène. Pythagore aurait quitté Samos en raison de son aversion pour la tyrannie de Polycrate. Vers 530av.J.-C., Pythagore s'établit à Crotone, colonie grecque dans l'Italie du Sud, où il fonda un mouvement qui nourrissait des aspirations religieuses, politiques et philosophiques, connu sous le nom de pythagorisme. On connaît la philosophie de Pythagore uniquement par l'œuvre de ses disciples. Doctrines de base Les pythagoriciens adhéraient à certains mystères, semblables à bien des égards aux mystères de l'orphisme. Obédience et silence, abstinence de nourriture, simplicité vestimentaire, modestie des possessions et examen de conscience, telles étaient leurs règles. Les pythagoriciens croyaient à l'immortalité et à la transmigration des âmes. On rapporte que Pythagore lui-même prétendait avoir été un guerrier de la guerre de Troie, et qu'il se targuait d'avoir pu emporter dans sa vie terrestre le souvenir de toutes ses existences antérieures.

125 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Pythagore Théorie des nombres Parmi les multiples recherches mathématiques réalisées par les pythagoriciens, leurs travaux sur les nombres pairs et impairs, et les nombres premiers et carrés eurent une importance fondamentale dans la théorie des nombres. Le concept de nombre devint pour eux le principe ultime de toute proportion, ordre et harmonie dans l'univers. Grâce à ces travaux, ils dotèrent les mathématiques d'un fondement scientifique. En géométrie, la grande découverte de l'école (mais qui fut découverte par dautres ailleurs à dautres époques) fut le théorème de l'hypoténuse, ou théorème de Pythagore, qui établit que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Astronomie L'astronomie des pythagoriciens marqua une étape importante dans la pensée scientifique antique, parce qu'ils furent les premiers à considérer la Terre comme un globe gravitant avec d'autres planètes autour d'un feu central. Ils soutenaient que la disposition harmonieuse des corps célestes s'explique par le fait qu'ils se situent dans une sphère de réalité unique et englobante, se déplaçant selon un plan numérique. Comme ils pensaient que les corps célestes sont séparés les uns des autres par des intervalles correspondant aux longueurs harmonieuses des cordes, les pythagoriciens soutenaient que le mouvement des sphères est à la source d'un son musical, l'harmonie des sphères. Source : Encarta 97 Retour

126 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter A propos des carrés nn² Que se passe-t-il quand le côté augmente? Retour au théorème

127 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter

128 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Pour passer dun carré au carré suivant Il faut rajouter deux fois le côté précédent et encore (n + 1)² = n² + 2n + 1

129 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Pour passer dun carré au carré suivant (n + 1)² = n² + 2n + 1 Par exemple : 41² = (40+1)²= 40² = = ² = 100² = ² = 60² = = ² = 25² = = 576 Mais aussi,pour passer dun carré au carré précédent :

130 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Si on multiplie le côté dun carré par On obtient un carré 4 fois plus grand

131 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter 7 Si on multiplie le côté dun carré par 3 On obtient un carré 9 fois plus grand

132 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Si on multiplie le côté d un carré par On obtient un carré 25 fois plus grand

133 Début Démo Triplets Exemples Les carrés Quitter Si on multiplie le côté dun carré par 10 Retour On obtient un carré 100 fois plus grand


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