Produits Dérivés - JDC OPTIONS Produits Dérivés - JDC.

Produits Dérivés - JDC OPTIONS Produits Dérivés - JDC

Définitions et Caractéristiques
Une option donne le droit à son détenteur d’acheter ou de vendre un actif donné (sous-jacent) sur une période de temps ou à une date donnée et à un prix prédéterminé. Celui qui achète une option se nomme le «détenteur» et celui qui vend une option se nomme le «signataire». Le signataire a l’obligation de d’acheter ou de vendre le sous-jacent selon la décision du détenteur d’exercer son option. Contrairement aux contrats à terme, l’acquisition d’une option nécessite un déboursé d’argent appelé le prix de l’option Produits Dérivés - JDC

Types d’options Option d’achat (call) Option de vente (put)
Option européenne: Option qui ne peut être exercée qu’à la date d’exercice. Option américaine: Option qui peut être exercée à tout instant jusqu’à la date d’exercice Produits Dérivés - JDC

Types d’options – Option d’achat - Call
ST est le prix du sous-jacent S à l’échéance du contrat (t=T). Produits Dérivés - JDC

Types d’options – Option de vente - Put
ST est le prix du sous-jacent S à l’échéance du contrat (t=T). Produits Dérivés - JDC

Position relative de l’acheteur et du vendeur d’un call
Types de positions Position relative de l’acheteur et du vendeur d’un call aujourd’hui (t=0) acheteur doit payer la prime de l’option vendeur encaisse la prime de l’option à l’expiration (t=T) Si ST > K, exerce l’option; Payoff acheteur = ST - K Si ST < K, n’exerce pas l’option; Payoff acheteur = 0 Ainsi, Payoff acheteur = max {ST - K, 0} Profit acheteur = max {ST - K, 0} - Prix Profit vendeur = Prix - max {ST - K, 0} Produits Dérivés - JDC

Position relative de l’acheteur et du vendeur d’un Put
Types de positions Position relative de l’acheteur et du vendeur d’un Put aujourd’hui (t=0) acheteur doit payer le prix de l’option vendeur encaisse le prix de l’option à l’expiration (t=T) Si ST < K, exerce l’option; Payoff acheteur = K - ST Si ST > K, n’exerce pas l’option; Payoff acheteur = 0 Ainsi, Payoff acheteur = max {K - ST, 0} Profit acheteur = max {K - ST, 0} - Prix Profit vendeur = Prix - max {K - ST, 0} Produits Dérivés - JDC

Valeurs intrinsèques et fonctions de profits
Valeur intrinsèque de la position longue Détenteur d’un call: Max {0, ST – K} Détenteur d’un put: Max {0, K – ST} Valeur intrinsèque de la Position courte Signataire d’un call: - Max {0, ST – K} Signataire d’un put: - Max {0, K – ST} Attention au signe « moins » K est le prix d’exercice et ST est le prix de l’actif sous-jacent au moment de l’exercice de l’option Produits Dérivés - JDC

Valeurs intrinsèques et fonctions de profits
ST K Position longue put Position courte put Position longue call Position courte call Produits Dérivés - JDC

Spécifications des Options
Les actifs sous-jacents aux options échangées en bourse Les actions Les devises étrangères Les indices boursiers Les Futures Les obligations Les swaps (swaptions) Produits Dérivés - JDC

Plus spécifiquement pour les options sur actions Date d’expiration : T Prix d’exercice: K Option européenne ou américaine , CE, CA, PE PA Classe d’option Série d’option Produits Dérivés - JDC

Ajustements au contrat d’option pour les dividendes en actions et les fractionnement des actions (splits) Soit N options de prix d’exercice K: Il n’y a pas d’ajustement en cas de versement de dividendes en argent. Quand survient un fractionnement n-pour-m de l’action, le prix d’exercice est réduit de mK / n le nombre d’options augmente de nN / m Les dividendes en actions sont considérés de la même façon que les splits. Produits Dérivés - JDC

Exemples Considérons une option d’achat de 100 actions pour: K = 30 $ / action Quel est l’effet d’un fractionnement de 3-pour-1? K devient 10$ et l’option porte sur 300 actions Soit une option de vente portant sur 100 actions pour: K = 15 $ / action Quel est l’effet d’un versement de dividendes en actions de 25%? K devient 12, et l’option porte sur 125 actions Produits Dérivés - JDC

Le marché boursier des options
Writing naked options Une naked option est une option pour laquelle le signataire ne détient pas le titre sous-jacent. La marge requise est le plus grand des deux montants suivants: 100% du montant de la vente + 20% du prix du sous-jacent moins le montant par lequel l’option est hors-jeu. 100% du montant de la vente + 10% du prix du sous-jacent Writing covered calls Dans ce cas, le signataire détient également le titre sous-jacent, de sorte que le risque est moindre. Il n’y a pas de marge requise avec un «covered call». Produits Dérivés - JDC

Les warrants (bons de souscription)
Autres Options Les warrants (bons de souscription) Les warrants sont des options émises (ou signées) par une entreprise ou une institution financière. Attention au risque de crédit ! Tout comme l’option, il confère à son détenteur le droit d’acheter des actions à un prix convenu durant une période déterminée. Lorsque les warrants sont exercés, la compagnie doit émettre de nouvelles actions. Alors qu’avec les options boursières, si exercées, on vend ou achète des actions qui ont déjà été émises Produits Dérivés - JDC

Les marchés au comptoir (Over-the-Counter Markets)
Autres Options Les marchés au comptoir (Over-the-Counter Markets) Les options sont fréquemment négociées sur le marché au comptoir – souvent pour caractéristiques non-standard Le prix d’exercice et la maturité des options transigées sur ces marchés ne correspondent pas nécessairement à ceux de la bourse. Pour contrebalancer le risque de crédit, une garantie («collateral») sera exigée Produits Dérivés - JDC

Les options pour dirigeants (employee stock options)
Autres Options Les options pour dirigeants (employee stock options) Options d’achat émises pour encourager les dirigeants à travailler pour les intérêts des actionnaires. Habituellement émises à parité. Elles ne peuvent être vendues. Lorsqu’elles sont exercées, la compagnie doit émettre de nouvelles actions. Produits Dérivés - JDC

Les obligations convertibles
Autres Options Les obligations convertibles Les obligations convertibles sont des instruments de dette avec une option émise par l’entreprise. Le détenteur a le droit d’échanger les obligations contre des actions. Équivalent à une obligation avec un « embedded call » sur les actions. En général, ces obligations sont également rachetables. Produits Dérivés - JDC

Spécificités des options sur actions
Le flux monétaire d’une option d’achat à l’échéance est Max{0, ST – K}. Le prix de l’option est évalué à t=0. La valeur des flux monétaires à l’échéance évalués à t=0 est Max{0, S0 – K e-rT}. Plus le taux sans risque r augmente, plus la valeur présente de K diminue et plus le flux monétaire net (S0 – k e-rT) augmente. Note: Cette relation est inversée dans le cas d’une option de vente Produits Dérivés - JDC

Options américaines vs options européennes La valeur d’une option américaine est au moins égale à celle d’une option européenne correspondante CA ≥ CE PA ≥ PE Vous pouvez attendre jusqu’à la toute fin avant de d’utiliser l’option américaine Les options américaines étant plus flexibles, elles doivent valoir plus! Produits Dérivés - JDC

Facteurs affectant le prix des options Variable CE PE CA PA ↑ S0 + - ↑ X ↑ σ ↑ r ↑ D ↑ T ? Produits Dérivés - JDC

Bornes et valeurs Bornes supérieures en absence de dividendes Call
CE ≤ S0 CA ≤ S0 Put PA ≤ K PE ≤ K e-rT Produits Dérivés - JDC

Bornes et valeurs Bornes Inférieures en absence de dividendes Call
CE ≥ Max {0, S0 – K e-rT} CA ≥ Max {0, S0 – K } Put PE ≥ Max {0, K e-rT – S0} PA ≥ Max {0, K – S0} Produits Dérivés - JDC

S0 ≥ CE ≥ Max {0, S0 – K e-rT} et S0 ≥ CA ≥ Max {0, S0 – K}
Bornes et valeurs S0 ≥ CE ≥ Max {0, S0 – K e-rT} et S0 ≥ CA ≥ Max {0, S0 – K} Produits Dérivés - JDC

K e-rT ≥ PE ≥ Max {0, X e-rT – S0} et K ≥ PA ≥ Max {0, X – S0}
Bornes et valeurs K e-rT ≥ PE ≥ Max {0, X e-rT – S0} et K ≥ PA ≥ Max {0, X – S0} Produits Dérivés - JDC

Bornes et valeurs Options américaines: exercice avant l’échéance d’un Call Exemple : Le prix actuel de l’action est de 50$. Le prix d’exercice de l’option est de 40$. L’échéance de l’option est d’un mois. Si l’objectif est de détenir l’action pour plus d’un mois, alors il est préférable d’attendre pour deux raisons: 1) on peut payer plus tard 2) le prix de l’action peut baisser sous 40$ d’ici un mois. Si l’action est surévaluée, alors il est préférable de vendre l’option plutôt que d’exercer et de vendre l’action. Alors, en l’absence de dividende, il n’est jamais optimal d’exercer un call américain avant l’échéance, car une option call vaut toujours plus en vie qu’exercée Produits Dérivés - JDC

Bornes et valeurs Options américaines: exercice avant l’échéance d’un Call Profit si exercée Profit si l’option est vendue S Valeur de l’option Flux monétaire de l’option si exercée Produits Dérivés - JDC

Bornes et valeurs Options américaines: exercice avant l’échéance d’un Put Intuition du Call : Avec le passage du temps, le prix d’exercice X devient relativement moins cher : Mieux vaut payer $100 dans 6 mois qu’aujourd’hui, donc exercer le Call plus tard Exercice d’un put : Il y a un gain d’intérêt car on obtient X plus tôt. mieux vaut recevoir $100 aujourd’hui que le recevoir dans 6 mois À un certain point, la probabilité que S diminue davantage devient plus faible, de sorte qu’il est préférable d’exercer. Donc, il est parfois optimal d’exercer un put américain avant l’échéance. Produits Dérivés - JDC

Parité Put-Call Parité Put-Call : Options européennes sans dividende
CE + K e-rT = PE + S0 Considérons les deux portefeuilles Un call et une obligation qui paye K : CE + K e-rT Un Put et une action : PE + S0 S’ils ont le même payoff et qu’ils sont sans risque, alors le coût initial doit être le même Produits Dérivés - JDC

Parité Put-Call Parité Put-Call : Options européennes sans dividende
On arrange : CE - PE = S0- K e-rT Les deux fonctions de profit sont équivalentes, donc leur prix aujourd’hui doit être le même S0 – K e-rT CE - PE ST Profit K Portefeuille A Portefeuille B Produits Dérivés - JDC

Parité put-call: options américaines sans dividende
S0 - K ≤ CA - PA ≤ S0 - K e-rT Quand les options sont américaines, la parité n’est plus une égalité, mais un intervalle Produits Dérivés - JDC

Dividendes Effet des dividendes
Le dividende fait baisser la valeur de S. On remplace donc S0 par (S0 – I0) où I0 est la valeur présente du dividende sur la durée de l’option Sans dividende Avec dividende CE > S0 – K e-rT CE > S0 – I0 – K e-rT PE > K e-rT – S0 PE > K e-rT – (S0 – I0) PE + S0 = CE + K e-rT PE + S0 – I0 = CE + K e-rT Produits Dérivés - JDC

Stratégies impliquant des options
Simples: Stratégies impliquant une option et le sous-jacent Mixtes («spreads»): Stratégies impliquant plusieurs options du même type Combinaisons: Stratégies impliquant conjointement des calls et des puts

Stratégies impliquant une option et un sous-jacent
Pour créer un effet de levier avec un call par exemple Pour la couverture signer une option d’achat couverte acheter un put de protection Autres stratégies

Stratégies impliquant une option et le titre sous-jacent
Position de base Profit Profit Call K K ST ST Put Position de base Position longue dans sous-jacent Position longue dans put Résultat: position longue dans call Position courte dans sous-jacent Position longue dans call Résultat: position longue dans put

Stratégies impliquant une option et le titre sous-jacent
Position de base Position de base Profit Profit K ST K ST Call Put Position courte dans call Position longue dans sous-jacent Résultat: position courte dans put Position courte dans put Position courte dans sous-jacent Résultat: position courte dans call

Les stratégies mixtes (Spreads)
Elles consistent à prendre des positions dans deux ou plus d’options du même type Elles regroupent : les Bull Spreads les Bear Spreads les Butterfly Spreads les Calendar Spreads les Diagonal Spreads

Profit ST K1 K2 Bull Spread avec calls
Stratégie: achat d’un call à K1 et vente d’un call à K2

Bull Spread avec calls Pour contruire un bull spread avec des calls, le plus simple est de décomposer le graphique pour y retrouver des composantes qui ressemblent soit à l’achat ou à la vente d’un call. Dans le cas d’un bull spread, si on regarde la partie gauche du graphique, on constate qu’elle ressemble à l’achat d’un call avec un prix d’exercice de K1. Comme la stratégie finale cesse de croître après K2, il faut donc limiter le gain illimité provenant de l’achat de notre call à K1. Pour ce faire, on doit trouver un moyen d’avoir une perte correspondant au gain pour que l’effet total après K2 soit nul. Comme on n’utilise que des calls dans cette stratégie, notre seul choix est de vendre une option d’achat à K2, ce qui annulera le gain du call à K1 lorsque le prix de l’action sera supérieur à K2. Remarquez que la vente de l’option d’achat à K2 procurera un revenu qui viendra diminuer le coût d’achat du call à K1. C’est d’ailleurs l’intérêt de cette stratégie, car elle permet de profiter de la hausse du sous-jacent (tout comme un call) mais elle coûte moins cher parce qu’on sacrifie une partie du gain qu’on pourrait faire si le sous-jacent atteint une valeur supérieure à K2.

Prix du sous-jacent à T (ST)
Bull Spread avec calls Prix du sous-jacent à T (ST) 20 25 29 30 35 Achat call(25) Max{0, 20-25} Max{0, 25-25} Max{0, 29-25} 4 Max{0, 30-25} 5 Max{0, 35-25} 10 Vente call(30) -Max{0,20-30} -Max{0,25-30} -Max{0,29-30} -Max{0,30-30} -Max{0,35-30} -5 Coût -2 Profit 2 3

Profit K1 K2 ST Bull Spread avec puts
Stratégie: Achat d’un Put à K1 et Vente d’un Put à K2

Bull Spread avec puts Pour contruire un bull spread avec des puts, le plus simple est de décomposer le graphique pour y retrouver des composantes qui ressemblent soit à l’achat ou à la vente d’un put. Dans le cas d’un bull spread, si on regarde la partie droite du graphique, on constate qu’elle ressemble à la vente d’un put avec un prix d’exercice de K2. Comme la stratégie finale cesse de perdre de la valeur avant K1, il faut donc limiter la perte provenant de la vente de notre put à K2. Pour ce faire, on doit trouver un moyen d’avoir un gain correspondant à la perte pour que l’effet total avant K1 soit nul. Comme on n’utilise que des puts dans cette stratégie, notre seul choix est d’acheter une option de vente à K1, ce qui annulera la perte du put à K2 lorsque le prix de l’action sera inférieur à K1.

Profit K1 K2 ST Bear Spread avec calls
Stratégie: vente d’un call à K1 et achat d’un call à K2

Profit K1 K2 ST Bear Spread avec puts
Stratégie: vente d’un put à K1 et achat d’un put à K2

Butterfly Spread avec calls
Profit K1 K2 K3 ST Stratégie: achat d’un call à K1, vente de deux calls à K2 et achat d’un call à K3

Pour contruire un butterfly spread avec des calls, le plus simple est de décomposer le graphique pour y retrouver des composantes qui ressemblent soit à l’achat ou à la vente d’un call. Dans le cas d’un butterfly spread, si on regarde la partie gauche du graphique, on constate qu’elle ressemble à l’achat d’un call avec un prix d’exercice de K1. Comme la stratégie finale cesse de croître après K2, il faut donc limiter le gain illimité provenant de l’achat de notre call à K1. Pour ce faire, on doit trouver un moyen d’avoir une perte correspondant au gain pour que l’effet total après K2 soit nul. Comme on n’utilise que des calls dans cette stratégie, notre seul choix est de vendre une option d’achat à K2, ce qui annulera le gain du call à K1 lorsque le prix de l’action sera supérieur à K2. Par contre, on ne veut pas qu’annuler le gain, on veut aussi que le profit de la stratégie diminue à partir de K2. Il faudra donc vendre un deuxième call à K2 si on veut générer un profit négatif à partir de K2.

Jusqu’à maintenant, on a une stratégie qui est stable de 0 jusqu’à K1, qui monte de K1 à K2 et qui redescend à partir de K2. Mais on veut que la stratégie redevienne stable après K3. Il faudra donc limiter la perte de la stratégie et la seule façon de le faire sera d’acheter un call à K3 dont le gain après K3 viendra compenser la perte de la combinaison des trois autres calls déjà utilisés. Pour représenter graphiquement l’achat ou la vente de deux calls, on utilisera soit une pente plus prononcée (pour représenter le fait que le gain ou la perte sera deux fois plus grand) ou un trait pointillé indiquant que deux options ont été vendues ou achetées à ce prix d’exercice. Cette stratégie est intéressante pour quelqu’un qui anticipe que le prix du sous-jacent ne variera pas beaucoup, car de grande variations du prix vont entraîner une perte. Cependant, la stratégie limite aussi la perte liée à une grande variation du prix.

Butterfly Spread avec puts
Profit K1 K2 K3 ST Stratégie: achat d’un put à K1, vente de deux put à K2 et achat d’un put à K3

Types de stratégies mixtes (spreads)
Mixte verticale (Bull, Bear et Butterfly) Même échéance Différents prix d’exercice Mixte horizontale (calendar spreads) Différentes échéances Même prix d’exercice Mixte diagonale (diagonal spreads)

Types de stratégies mixtes (spreads)
K1 K2 K3 DIAGONALE VERTICALE HORIZONTALE

Calendar Spread avec calls
Profit ST K Stratégie: vente d’un call à T1 et achat d’un call à T2

Calendar spread avec calls
Pour comprendre le graphique précédent, il faut savoir qu’on doit choisir un moment dans le temps pour «geler» la fonction de profit, puisque nous avons deux options avec des échéances différentes. Le plus simple est de se positionner à T1. Ensuite, il suffit de réaliser que la position longue dans l’option d’achat avec une échéance de T2 est encore en vie à T1. Cela signifie que sa valeur est supérieure à sa valeur intrinsèque (ou minimale), d’où la ligne courbe pour représenter sa valeur. L’option T2 couvre l’option T1

Calendar Spread avec puts
Profit ST K Stratégie: vente d’un put à T1 et achat d’un put à T2

Les combinaisons Elles consistent à prendre des positions dans des puts et des calls simultanément sur le même sous-jacent. Elles regroupent : les straddles les strips et straps les strangles

Position double (Straddle)
Profit K ST Stratégie: achat d’un put à K et achat d’un call au même K

Positions triples de vente et d’achat (Strip & Strap)
Profit Profit K ST K ST Strip Strap Stratégie strip: achat de deux puts à K et achat d’un call à K Stratégie strap: achat d’un put à K et achat de deux calls à K

Position combinée (Strangle)
Profit K1 K2 ST Stratégie: achat d’un put à K1 et achat d’un call à K2

Vente d’une stratégie De la même façon qu’on peut acheter ou vendre une option, on peut aussi acheter ou vendre une stratégie. La vente d’une stratégie procure une fonction de profit inverse à celle de l’achat d’une stratégie. Exemple: Achat straddle Vente straddle Stratégie Achat call à K Achat put à K Vente call à K Vente put à K Débit / crédit Débit (on débourse de l’argent Crédit (on reçoit de l’argent) Anticipation Le prix du sous-jacent devrait fluctuer beaucoup. Le prix du sous-jacent devrait rester stable.

Achat et vente d’une combinaison
Achat d’un straddle Vente d’un straddle Profit Profit K ST K ST

Les arbres binomiaux Exemple : L’action du Groupe CGI est actuellement de 30$. Dans 3 mois, le prix de l’action sera soit à 28$ ou à 32$. Le taux sans risque à 3 mois est de 10% On veut calculer le prix d’une option d’achat européenne dont l’échéance est de 3 mois et le prix d’exercice est de 31$.

L’arbre binomial du Call pour K = 31$
Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$ S=30$ S=32$ S=28$ C = ? C = max ( 0 : S – K ) = 1 $ C = max ( 0 : S – K ) = 0 $

L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Hypothèse :
Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Hypothèse : Il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage, il est donc possible de construire un portefeuille sans risque constitué d’actions et d’options. Considérons le portefeuille suivant: Position longue dans une quantité Δ d’actions Position courte dans une option d’achat Δ S - C

L’arbre binomial du Call pour K = 31$
Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Le portefeuille est sans risque si D 32 – 1 = D 28 soit D = 0.25 S=30$ S=32$ S=28$ C = ? C = max ( 0 : S – K ) = 1 $ C = max ( 0 : S – K ) = 0 $ D30$ - C D D

Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$
Dans 3 mois avec D = 0.25, l’arbre devient Comme la valeur du portefeuille est la même peu importe le prix de l’action à l’échéance, il s’agit donc d’un portefeuille sans risque et son rendement doit être égal au taux sans risque D30$ - C D 32 – 1 = 7 $ D 28 = 7 $

Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$
Si le taux sans risque est de 10% en taux continu, alors la valeur présente du portefeuille est 7 e-0.1x.25 = 6.83$. On peut donc trouver la valeur de l’option aujourd’hui comme suit: (30x0.25) – C = => C = 0.67$ D30$ - C = 6.83$ C = 0.67$ D 32 – 1 = 7 $ D 28 = 7 $

Les arbres binomiaux Modèle Général À l’échéance:
Le sous-jacent peut augmenter au prix Su  S0 x u = Su Le sous-jacent peut diminuer au prix Sd  S0 x d = Sd Le flux de l’option sera donc cu, cd, (pu ou pd pour un Put) Su cu S0 c Sd cd

Les arbres binomiaux Modèle Général Su Δ – cu = Sd Δ – cd d’où
Construction du portefeuille sans risque Position longue dans Δ actions Position courte dans une option Trouver le Δ rendant le portefeuille sans risque Su Δ – cu = Sd Δ – cd d’où Dsu - cu DS - c DSd - cd

c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd]
Les arbres binomiaux Modèle Général La valeur présente du portefeuille sans risque est: S D – c = (Su D – cu) e–rT En substituant D par et en posant On obtient: c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd] le prix d’une option est alors la valeur présente de l’espérance de la valeur de l’option à la période suivante. p est la probabilité neutre au risque

Le prix de l’action est 60$ Le prix d’exercice K de l’option est 62$
Les arbres binomiaux Exemple Le prix de l’action est 60$ Le prix d’exercice K de l’option est 62$ On a les paramètres suivant : u = 1.1 d = 0.9 r = 9% T = 0.25 Quel est le prix d’une option d’achat européenne?

Les arbres binomiaux Exemple On calcule la probabilité p :
On cherche c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd ] On trouve cu: Su = 60x1.1 = 66 Cu = Max [0, 66-62] = 4 On trouve cd: Sd = 60x0.9 = 54 Cd = Max [0, 54-62] = 0 c = e–0.09x.25 [ x 4 + ( ) x 0] = 2.40 Su = 66 Cu = 4 S = 60 C = ? Sd = 54 Cd = 0

Le D d’un Call est positif Le D d’un Put est négatif
Le DELTA Définition: Le delta d’une option est le ratio de la variation du prix de l’option par rapport à la variation du prix de l’action. Mathématiquement : Le D est la dérivée partielle du prix de l’option par rapport au prix de l’action Le D d’un Call est positif Le D d’un Put est négatif

Le DELTA Stratégies : Dans la pratique :
Le delta est utilisé pour faire du «delta hedging»: Quand une position d’option est «delta-couverte» (delta-hedged), elle n’est plus affectée par les variations du titre sous-jacent. Cependant, cette couverture est dynamique: parce que le prix de l’action varie, donc le delta varie continuellement; Cela implique qu’il faut constamment s’assurer d’avoir le bon nombre d’actions. Stratégies : Long Call : short D Action Short Call : Long D Action Long Put : Long D Action Short Put : Short D Action

Arbre binomial avec dividendes
Exemple Le prix de l’action S = 10$ Le prix d’exercices K = 9$ On a les paramètres suivant : u = 1.15 d = 0.90 r = 5% par période (deux périodes) Dividende (D) = 1$ et Ex-Dividende Date à t =1 Quel est le prix d’une option d’achat européenne?

1er étape : l’arbre binomial t = 0 t = 1 t = 2 Suu = cuu = 3.075 11.5 - 1 Sud = 9.45 cud = 0.45 10.5 10 Sdu = 9.20 cdu = 0.20 9 - 1 Dans la vraie vie, le prix de l’action baisse à la date ex-dividende. Dans la série d’exercices, on utilise d’ailleurs la date ex-dividende. Sdd = 7.20 cdd = 0 8

2eme étape : Les nœuds finaux t = 2 t = 1 cuu = 3.075 cu = e-.05x1 [0.6051x ( )x0.45] = 1.94 cud = 0.45 cdu = 0.20 cd = e-.05x1 [0.6051x ( )x0] = 0.115 cdd = 0

3eme étape : Le dernier nœud t = 0 t = 1 cu = 1.94 c = e-.05x1 [0.6051x ( )x0.115] = 1.16 cd = 0.115

Même exercice, Option d’achat Américaine 2eme étape : Les nœuds finaux t = 1 t = 2 e-.05x1 [0.6051x ( )x0.45] cuu = 3.075 cu = Max {0, , 1.94} = 2.5 cud = 0.45 e-.05x1 [0.6051x ( )x0] cdu = 0.20 cd = Max {0, 9 - 9, 0.115} = 0.115 cdd = 0

Même exercice, Option d’achat Américaine 3eme étape : Le dernier nœud t = 0 t = 1 e-.05x1 [0.6051x2.5 + ( )x0.115] cu = 2.5 c = Max {0, , 1.48} = 1.48 cd = 0.115

Arbres binomiaux en pratique
À l’échéance de l’option, il est peu probable que le prix de l’action tombe sur une des trois valeurs de l’arbre. Pour ajouter de la précision, il faut ajouter des nœuds (périodes) 30 nœuds ou plus donne une bonne approximation Comment détermine-t-on la valeur de u et d? On se base sur la volatilité du titre sous-jacent (σ) On fait aussi des ajustements à chaque période pour tenir compte du fait que les taux d’intérêt ne sont pas constants d’une période à l’autre.

Black & Scholes Fischer Black ( ) Un «p’tit génie» passionné de mathématiques et sciences mais aussi de la littérature et des arts Au secondaire, il fonde un club secret d’«intellectuels» Baccalauréat et Doctorat de Harvard University, mais… Il se fait mettre à la porte (temporairement) parce qu’il change son sujet de thèse de doctorat sans cesse: physique, mathématiques, psychologie, science informatique et intelligence artificielle… enfin, son PhD en mathématiques appliquées Il travaille pour une firme privée, Arthur D. Little, avant de rejoindre le Departement de Finance de l’Université de Chicago après avoir travaillé sur le modèle d’option-pricing avec Myron Scholes (alors au MIT)

Black & Scholes Myron Scholes (1941- ) Un Canadien de Timmins, ON Entre 18 et 26 ans, une maladie oculaire l’empêche de lire sauf pendant de courtes durées – jusqu’à une transplantation de cornées Bacc. à McMaster, puis doctorat (finance) à l’Université de Chicago Il commence comme professeur adjoint au MIT où il rencontre Black Plus tard, il enseignera à Chicago, et enfin Stanford GSB

Black & Scholes Robert C. Merton (1944-) Professeur au MIT
Il a été le premier à publier un article développant l'aspect mathématique d'un modèle d'évaluation d'option en citant les travaux de Fischer Black et de Myron Scholes. Le concept fondamental de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Robert Merton et Myron Scholes reçurent en 1997 le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel (souvent appelé de manière erronée prix Nobel de l'économie) pour leurs travaux. Fischer Black, décédé en 1995 et donc inéligible, a été cité comme contributeur.

Leur recherche est rejetée par plusieurs revues scientifiques
Black & Scholes Le Modèle: Black et Scholes présentent en 1970 une version complétée d’une manière de dérivé le processus d’évolution du prix d’une action (pas le modèle en fait!) Leur recherche est rejetée par plusieurs revues scientifiques Deux professeurs de Chicago leur obtiennent une seconde chance et enfin, leur article est publié en 1973 dans le Journal of Political Economy 19046 citations selon Google Scholar en 2012 Un des articles les plus cités en finance et économique

Long Term Capital Managment (1994-2000)
Black & Scholes Long Term Capital Managment ( ) L’erreur de parcours! LTCM était un hedge fund spéculatif basé à Greenwich, au Connecticut qui a utilisé des stratégies de transaction de rendement absolu (arbitrage de titres à revenu fixe, et arbitrage statistique) combiné avec un effet de levier important. Il a été créé pour profiter de la fiscalité favorable des Hedges Funds. (pas toujours légalement) À la suite de la crise Asiatique en 1997, Russe en 1998, Le Fonds long terme le plus important de la firme, a fait faillite, conduisant à un plan de sauvetage par d'autres institutions financières, sous la supervision de la Réserve fédérale

Black & Scholes Critiques et Pratique du modèle :
L'une des critiques qui revient souvent est le fait que ces théories sont fondées sur la distribution normale (loi de Gauss ou "courbe en cloche"), qui sous-estiment très fortement les événements "improbables" comme les crises ou les krachs alors qu'ils sont finalement beaucoup moins rares que cette loi ne le prévoit Autre critiques : les hypothèses sur lesquelles sont fondées ces théories sont très peu réalistes : La rationalité des investisseurs notamment… Malgré tout, le modèle de Black and Scholes demeure la référence auprès des professionnels et universitaires du fait de son caractère (relativement) simple et pratique. Notamment pour extraire la volatilité implicite des marchés.

Estimation de la volatilité
Hypothèses du modèle Estimation de la volatilité La volatilité est l’incertitude associée au titre sous-jacent. C’est donc une fonction de σ2. On estime la volatilité à partir des données historiques: on calcule le rendement continu On calcule ensuite l’écart-type de la série des ui. Attention : Si la fréquence des données n’est pas annuelle, il faut ajuster la volatilité estimée pour obtenir la volatilité annuelle utilisée dans la formule

Hypothèses du modèle Estimation de la volatilité Utilisation: Pour une volatilité annuelle de Quel est l’écart-type en $ auquel on doit s’attendre pour un intervalle d’une semaine si le prix actuel de l’action est de 540$?

Hypothèses du modèle Hypothèses principales:
Le log naturel du changement de valeur de l’action est distribué normalement. Le modèle n’est valide que pour les options européennes. Le modèle de base ne considère pas les versements de dividende Il n’y a pas de coût de transaction, ni d’impôt. Tous les actifs sont parfaitement divisibles. Les emprunts et les prêts se font au même taux. Le taux d’intérêt à court terme r est constant Les transactions se font en temps continu. La volatilité à court terme est constante. Il y a absence d’opportunité d’arbitrage

Le modèle fait l’hypothèse que le taux d’intérêt est constant.
Limites du modèle Le modèle fait l’hypothèse que le taux d’intérêt est constant. Le modèle fait l’hypothèse que la volatilité est constante. La formule n’est valide que pour les options européennes En pratique, les options sont plus souvent américaines

La Formule C : Call P : Put K : Prix d’exercice
T : échéance de l’option S : Action sous-jacente s2 : Variance annuelle du sous-jacent r : Taux sans risque N(x) = Probabilité normale

Exemple : La Formule Quel est le prix d’une option d’achat européenne?
Le prix de l’action S est 100$ Le prix d’exercice K est 95$ La volatilité annuelle σ est de 20% Le taux continu sans risque est 10% L’échéance de l’option T est 3 mois Quel est le prix d’une option d’achat européenne? Quel est le prix d’une option de vente européenne?

Exemple : La Formule N(d1) = N(0.81) = 0.7910 N(d2) = N(0.71) = 0.7611
C = 100 x – 95 e-.10x.25 x = 8.581 P = 95 e-.10x.25 x x = 1.235

La Formule Exemple : Vérifiez que la parité put-call tient lorsque le prix de l’option de vente et de l’option d’achat est calculé à l’aide de la formule de Black-Scholes. P + S0 = C + K e–rT = e-.10x.25 =

La volatilité implicite
OPTION CALL ou PUT = f(S, K, r, T, σ) Le seul facteur qui n’est pas directement observable est la volatilité σ du sous-jacent. Il faut donc la calculer. Sinon : La volatilité implicite est la volatilité qui fait que la valeur théorique du prix de l’option est équivalente à la valeur sur le marché. σimplicite  sBS = smarché En pratique, elle est déduite par tâtonnement, en procédant de façon itérative, ou avec les fonctions d’Excel

La volatilité implicite
Exemple : Le prix de l’action est 15$ Le prix d’exercice de l’option est 13$ Le taux continu sans risque est 5% L’échéance de l’option est 3 mois Le prix d’une option d’achat européenne est 2.5$ Quelle est la volatilité implicite de cette option?

Effet des Dividendes Dans le cas d’une option Call européenne, on peut calculer son prix en substituant la valeur du prix de l’action par le prix de l’action diminué de la valeur présente des dividendes. On peut procéder uniquement avec des montants absolus On remplace donc S0 par (S0 – VA (Div)) dans la formule de Black-Scholes. Dans le cas d’une option call américaine, il se peut qu’il soit préférable d’exercer l’option, et si c’est le cas, ce sera juste avant la date ex-dividende. Si l’action verse un dividende en continu au taux q, on utilisera la formule de Black-Scholes dans la partie d’acétates Option sur Indices boursiers et devises

Exemple: Effet des Dividendes
S = 40, K = 40, σ = 0.30, r = 9%, T = 9 mois D1 = 1$ dans 6 mois, Calculer le prix du Call Américain : CA = Max{c6,c9} = 4.83 Échéance à 9 mois : Échéance à 6 mois : S0 = 40 – 1 e -0.09x0.5 = 39.04$ S0 = 40 d1 = d1 = d2 = 0.036 d2 = N(0.30) = N(0.32) = N(0.04) = N(0.11) = C9 = 4.83 C6 = 4.23

Titre sous-jacent procurant un rendement continu
On peut obtenir la même distribution de probabilités pour le prix de l’action au temps T pour chacun des deux cas suivants: Le prix initial est S0 et procure un taux continu de dividendes égal à q. Le prix initial est S0 e–qT et ne procure aucun revenu. On peut donc évaluer une option européenne en réduisant le prix initial à S0 e–qT et en supposant qu’il n’y a pas de dividende

Effet sur les bornes inférieures
Borne inférieure pour une option d’achat Borne inférieure pour une option de vente

Effet sur la parité put-call

Effet sur la méthode binomiale
Dans un monde neutre au risque, le prix de l’action croît au taux r-q au lieu du taux r lorsqu’il y a un taux de dividende q. La probabilité p, pour un mouvement à la hausse, doit donc satisfaire : pS0u + (1 – p) S0d = S0 e (r-q)T de sorte que Le prix de l’option se calcule toujours de la même façon: c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd ] L’évolution du prix de l’action n’est pas affectée. Seule la probabilité p est modifiée

Effet sur la formule de Black-Scholes

Options sur indice boursier
Ce sont des options dont le titre sous-jacent est un indice boursier qui paye un dividende les plus populaires sont: S&P 100 index (OEX) S&P 500 index (SPX) Nasdaq 100 index (NDX) Russell 200 index (RUT) Dow Jones index times 0.01 (DJX) S&P TSE 60 index Chaque contrat porte sur 100 × l’indice, sauf DJX Toutes les options sont européennes, sauf sur le S&P100. Les contrats sont réglés en cash

LEAPS : Long Term Equity Anticipation Securities Ceux sont des options sur indice boursier qui peuvent avoir une échéance jusqu’à 3 ans : Elles permettent des stratégies long terme sans reconduire plusieurs fois des produits court-termes Elles expirent en décembre. Elles valent 10 x l’indice Elles existent aussi sur des titres standards Elles se comportent financièrement comme des actions!

Exemple Le niveau actuel de l’indice boursier est de 750 Le prix d’exercice de l’option est de 725 Le taux continu sans risque est 8% Le taux de dividendes de l’indice est de 4% La volatilité est de 25% annuellement L’échéance de l’option est de 5 mois Quel est le prix d’une option d’achat européenne sur cet indice boursier et quel est le coût d’un contrat?

Exemple Quel est le prix d’une option d’achat européenne sur cet indice boursier et quel est le coût d’un contrat? d1 = 0.394 d2 = 0.233 N(0.39) = N(0.23) = c = 66.27 Coût : 100 x = 6627$

Approche alternative

Description et fonctionnement des options sur Futures
Option Call sur Futures Quand une option Call sur Futures est exercée, le détenteur acquiert : Une position longue dans le Future Un montant d’argent égal à la différence entre le prix Futures et le prix d’exercice Flux de l’option = Max{0, F - K}

Description et fonctionnement des options sur Futures
Option Put sur Futures Quand une option put sur Futures est exercée, le détenteur acquiert : Une position courte dans le Futures Un montant d’argent égal à la différence entre le prix d’exercice et le prix Futures Flux de l’option = Max{0, K - F}

Avantages potentiels des options sur Futures
Les contrats Futures sont plus liquides que les actifs sous-jacents. Les Futures se transigent facilement. Le prix Futures est en général disponible tandis que le prix spot ne l’est pas toujours. L’exercice de l’option ne conduit généralement pas à la livraison du sous-jacent. Les options sur Futures engendrent de faibles coûts de transaction

Évaluation avec arbre binomial
Exemple : Le prix Futures est actuellement de 30$. Dans 1 mois, le prix Futures sera soit de 28$, soit de 33$. Taux sans risque : 6% Calculer le prix d’une option call européenne dont l’échéance est de 1 mois et le prix d’exercice est de 29$

Exemple : Call : Max (0 ; F – K) avec K = 29$ Si on fait l’hypothèse qu’il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage, il est possible de construire un portefeuille sans risque constitué de Futures et d’options. Position longue dans une quantité Δ de Futures Position courte dans une option call F=30$ F=33$ F=28$ c=? c=4$ c=0$

Exemple : Valeur du portefeuille à l’échéance: Le portefeuille est sans risque si: 3Δ – 4 = -2Δ => Δ = 0.8 Dans un mois la valeur du portefeuille est de: (3x0.8) – 4 = -1.6$ 0Δ - c 3Δ - 4 -2Δ - 0

Exemple : Comme la valeur du portefeuille est la même peu importe le prix du futures à l’échéance, il s’agit donc d’un portefeuille sans risque et son rendement doit être égal au taux sans risque Si le taux sans risque est de 6% en taux continu, alors la valeur présente du portefeuille est de -1.6 e-0.06x(1/12) = On peut donc trouver la valeur de l’option comme suit: (0x0.8) – c = => c = 1.592$

Généralisation : À l’échéance, le sous-jacent peut augmenter au prix F0u ou diminuer au prix F0d. De même, le flux de l’option sera de cu ou cd F0u cu F0 c F0d cd

Généralisation : Construction d’un portefeuille sans risque Position longue dans Δ contrats Futures Position courte dans une option Trouver le Δ rendant le portefeuille sans risque (F0u – F0)Δ – cu = (F0d – F0)Δ – cd (F0u – F0)Δ - cu (F0d – F0)Δ - cd (F0 – F0)Δ - c

Généralisation : La valeur présente du portefeuille sans risque est [(F0u–F0)Δ – cu] e–rT Cette valeur doit être égale au coût initial [(F0u–F0)Δ – cu] e–rT = (F0 – F0)Δ – c – c = [(F0u – F0)Δ – cu)] e–rT En substituant et en posant on obtient: c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd ]

Exemple : Le prix du Futures est 30$ Le prix d’exercice de l’option call est 29$ u = 1.1 d = r = 6% T = 1/12 Trouver le prix d’une option Call sur futures

Exemple : c = e-.06x1/12 [0.4 x 4 + (1-0.4) x 0] c = 1.592 33 4 30 c 28

Évaluation avec Black-Scholes
Principe : On peut considérer un Futures comme un actif versant un taux de dividende r

Prix des options sur Futures vs options sur titre sous-jacent
Option américaine: Si F>S, alors cF > cS et pF < pS Si F<S, alors c’est le contraire Option européenne: Si échéance de l’option F = échéance de F, alors option F = option S Si échéance de l’option F< échéance de F, alors cF > cS si F > S et cF < cS si F < S C’est l’inverse dans le cas d’une option de vente

Résumé des parités put-call

Synthèse des résultats pour options
On peut considérer les indices boursiers, les devises et les Futures comme étant des titres payant un taux continu de dividendes Pour un indice boursier, q = moyenne du taux de dividendes de l’indice au cours de la vie de l’option Pour une devise étrangère, q = rƒ Pour un Futures, q = r Impact sur la méthode binomial :

Options sur Obligations
avec F0 = (B – I0) e rT

Exemple : Options sur obligations Soit un option call européenne de 9 mois sur une obligation ayant une maturité de 10 ans et une valeur nominale de 1000$ Le prix de l’obligation: 950$ Le prix d’exercice K: 1000$ La volatilité : 9 % Le taux de coupon:10% semi-annuel Le prochain coupon sera versé dans 3 mois Les taux sans risque de 3 et 9 mois sont de 9% et 10% Quel est le prix d’une option call européenne sur cette obligation?

Exemple : Options sur obligations F0 = ( e-.09x e-.10x.75) e.10x.75 = N(d1) = N(-1.01) = N(d2) = N(-1.09) = CE = e-.10x.75 [921.30x.1562 – 1000x.1379] = 5.57

Options sur Taux d’intérêt
Caps, Floors, et Collars : Définition : Ces produits dérivés correspondent essentiellement à une série d’options européenne et qui sont généralement associé à des emprunts à taux flottants Caps: Série d’options call Floors: Série d’options put Collars: Position longue dans un Cap et position courte dans un Floor

Un CAP : Un cap est série d’options call sur taux d’intérêt Chaque Option Call est appelé Caplet L’effet de ces options call est de faire en sorte que le taux d’intérêt que l’on paiera sur un emprunt, par exemple, ne dépassera pas un taux maximum Le flux monétaire généré par l’option correspond donc à la différence entre le taux d’intérêt à terme et le taux du cap, ou le taux maximum (taux d’exercice) Un cap a aussi la particularité que le flux monétaire sera versé à une date postérieure à la date d’exercice de l’option

Un CAP : Graphique Taux d’intérêt CAP Taux d’intérêt avec cap Temps

Un CAP : Un Cap correspond à une option call sur le taux d’intérêt. Pour un emprunteur, un Cap permet de garantir un taux d’emprunt maximum Profit r Profit de la position Position de l’emprunteur Cap r

Un Floor : Un Floor correspond à une option put sur le taux d’intérêt. Pour un prêteur, un Floor permet de garantir un taux de placement minimum r Profit r Profit Position du prêteur Floor

Un Collar : Position longue dans un Cap plus position courte dans un Floor. Les prix d’exercices sont choisis de façon à ce que le coût soit nul c - p = 0 équivalent à Cap – Floor = 0 Ce qui implique que rK1 et rK2 seront forcément différents. Pour un emprunteur, un Collar garantit que le taux variable payé sera toujours entre deux valeurs

Le Collar : Graphique r Profit Pos. courte dans Floor r Profit rX1 rX2 Collar rX1 rX2 Pos. longue dans Cap

Un Collar : Position de l’emprunteur Profit r Profit rX1 rX2 Position de l’emprunteur r rX1 rX2 Collar

Un Collar : Position de l’emprunteur r < rX1 rX2 < r < rX2 r > rX2 Pos. courte dans r - r Pos. courte dans floor rX1 - (rX1 - r) Pos. longue dans cap rX2 + (r - rX2) Coût Profit - rX1 - rX2

Parité : Cap, Floor et Swap Le Swap r Profit Paie taux fixe et reçoit taux variable (+r - rK) = pos. longue dans swap rK Paie taux variable et reçoit taux fixe (+rK - r) = pos. courte dans swap

Parité : Cap, Floor et Swap Long Cap + Short Floor = Long Swap r Profit r Profit Pos. longue dans swap Pos. courte dans Floor rK rK Pos. longue dans Cap

Évaluation d’un Cap À l’échéance de chaque caplet, on choisit d’exercer ou pas à t=k À t=k, on fixe le taux d’intérêt en vigueur entre t=k et t=k+1 Le paiement d’intérêt sur un emprunt se fait à la fin de la période L’échange de flux se fait à t=k+1 La valeur du Cap est la somme de chaque Caplet Fk Fk - Rk k k+1 t Échéance de l’option

Évaluation d’un Cap avec Black-Scholes La valeur d’un Caplet pour la période [tk, tk+1] est Fk : taux forward sur (tk, tk+1) sk : volatilité des taux d’intérêt rk+1 : taux spot d’échéance tk+1 L : principal RK : taux cap dk=tk+1-tk

Évaluation d’un Floor La valeur d’un Floor est évaluée de la même manière et la valeur d’un «Floorlet» est

Évaluation d’une Obligation avec arbre binomial
Deux étapes: Établir l’arbre des taux d’intérêt On établit les taux d’intérêt au début de chaque nœud en augmentant ou en diminuant le taux du nœud précédent selon le multiplicateur approprié. Établir l’arbre des prix de l’obligation On établit les prix de façon récursive en commençant avec les flux monétaires à l’échéance, puis en revenant dans le temps à chaque nœud jusqu’à t=0

Évaluation d’une Obligation avec arbre binomial
Exemple : Supposons que le taux d’intérêt actuel pour un an est de 8% (taux discret) et qu’à chaque année, il peut monter ou descendre de 20% avec une probabilité égale. Supposons une obligation de 3 ans avec un coupon annuel de 8.5% et une valeur nominale de 100$. Quel est le prix de cette obligation?

Étape 1: arbre des taux d’intérêt
Ici, années 13.824% 11.52% 9.6% 9.216% 8.0% 7.68% 6.4% 6.144% Pas utiles 5.12% 4.096% NB: C’est l’arbre du taux spot un an, et non pas une structure à terme des taux d’intérêt

Étape 2: arbre des prix de l’obligation

Évaluation d’une Obligation Rachetable avec arbre binomial
Une obligation peut être rachetable au gré de l’émetteur ou du porteur à un prix prédéterminé et pendant une période déterminée. L’obligation comporte donc une option qui peut être évaluée à l’aide de la méthode binomiale

Obligation rachetable au gré de l’émetteur Prix Valeur de rachat Prix Valeur de rachat Valeur de l’obligation rachetable au gré de l’émetteur r r

Obligation rachetable au gré de l’émetteur À chaque étape on calculera la valeur de l’obligation : P = C + Min[ Valeur de rachat ; (50% Pu + 50% Pd ) / 1+r ] Prix Valeur de rachat conservé si prix < prix calculé Valeur de l’obligation rachetable calculé au gré de l’émetteur r

Obligation rachetable au gré du porteur (acheteur) Prix r Prix Valeur de rachat Valeur de l’obligation rachetable au gré du porteur Valeur de rachat r

Obligation rachetable au gré du porteur (acheteur) À chaque étape on calculera la valeur de l’obligation : P = C + Max [ Valeur de rachat ; (50% Pu + 50% Pd ) / 1+r ] r Prix Valeur de rachat conservé si > au prix calculé Valeur de l’obligation rachetable calculée au gré du porteur

Obligation rachetable au gré de l’émetteur Exemple: Reprenons les données de l’exemple précédent et supposons que l’obligation est rachetable en tout temps à un prix de 101$ L’obligation de 3 ans avec un coupon annuel de 8.5% et une valeur nominale de 100$. le taux d’intérêt actuel pour un an est de 8% (taux discret) et qu’à chaque année, il peut monter ou descendre de 20% avec une probabilité égale. Quel est le prix de l’obligation rachetable et quelle est la valeur de l’option d’achat pour l’émetteur?

Calcul du prix de l’obligation avec l’option
108.5 108.5 108.5 108.5 T=2 109.5 ; exerce 109.5 ; n’exerce pas 109.5 ; T=1 109.5 ; exerce 109.5 ; n’exerce pas T=0

Obligation rachetable au gré de l’émetteur Quel est le prix de l’obligation rachetable : $ Quelle est la valeur de l’option d’achat pour l’émetteur?

Couverture de Portefeuille et Delta Hedging
Assurance de portefeuille d’actions Avec des options Par rebalancement dynamique Couverture de portefeuille d’actions Avec des contrats à terme Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging Avec des actions ou contrat à terme Les lettres grecques Value at risk (VaR)

Assurance de portefeuille d’actions
Différence entre assurance et couverture Couverture de portefeuille: Stratégie qui permet d’éliminer complètement ou partiellement la valeur d’un portefeuille. Le mot «couverture» est souvent utilisé dans le sens d’une stratégie qui élimine le risque complètement, donc que la valeur d’un portefeuille ne changera pas. Assurance de portefeuille: La notion d’assurance de portefeuille est similaire à la notion de couverture sauf que le terme «assurance» définit généralement une stratégie qui garantit une valeur minimum pour le portefeuille, et donc s’apparente à une option de vente.

Assurance de portefeuille avec option de vente sur indice Les options sur indices boursiers peuvent être utilisées pour de l’assurance de portefeuille d’actions Il suffit de choisir le bon indice : c’est-à-dire le plus corrélé avec le portefeuille Portefeuille non couvert Prix de l’action Put couvert

Assurance de portefeuille avec option de vente sur indice Si le portefeuille a un b de 1.0, le gestionnaire de portefeuille achètera 1 contrat d’option de vente sur indice pour chaque 100 x S0 dollars détenus. Si le b n’est pas 1.0, le gestionnaire achètera b contrats d’option de vente pour chaque 100 x S0 dollars détenus. Il faut se servir du CAPM dans ce cas-ci. Dans chacun des cas, le prix d’exercice est choisi pour assurer le niveau d’assurance désiré

Exemple : Le beta du portefeuille est 2.0 La valeur actuelle du portefeuille est 1M $ Le niveau actuel de l’indice est 250 Le taux sans risque r = 8% par année Le rendement de l’indice q = 3% par année Le gestionnaire veut maintenir une valeur minimum de $ (sans tenir compte du coût de la stratégie)? Quel stratégie doit-il adopter? Quelle est la valeur du portefeuille si l’indice descend à 230 dans un an?

Solution : Stratégie: Position longue dans le portefeuille Couverture avec une position longue dans des options de ventes Nombre de contrats : 2 x [1 M$ / (250x100)] = 80 Prix d’exercice : Perte maximale possible = ( / 1 M) – 1 = - 10% = re Attention : Le b est différent de 1 On utilise de le CAPM : re= rf + b (rm+ q - rf) -10% = ( rm – 0.08)  rm = -0.04 Le prix d’exercice de l’option sur indice sera K = 250 (1 – 0.04) = 240

Solution : Quelle est la valeur du portefeuille si l’indice descend à 230 dans un an? Perte de l’indice = (230/ 250) – 1 = - 8% = rm Attention : Le b est différent de 1 On utilise de le CAPM pour obtenir la perte du portefeuille : re= rf + b (rm+ q - rf) re= ( – 0.08)  rm = -0.18 Valeur du portefeuille = 1M$ x (1 – 0.18) = $ Gain sur le Put : ( )x80x100 = $ Soit un total de $

Assurance par rebalancement dynamique
Plutôt que d’acheter une option de vente, on la crée synthétiquement en gérant la proportion du portefeuille investie en actions et en titres sans risque (obligations). Pourquoi créer des options synthétiques? Les options n’existent pas pour un certain sous-jacent. Il y a un manque de liquidité dans le marché des options. Besoins précis en terme d’échéance et de prix d’exercice.

Attention : L’exemple suivant est la technique qui était utilisée par les ordinateurs lors du Crash d’octobre 1987 où entre le 14 et le 16, la plupart des indices ont chuté de 30% La technique n’a pas créé le Crash en elle même, mais elle a juste accéléré le processus une fois enclenché À la suite de cet événement, on a instauré un système de disjoncteurs (Breakers) pour arrêter les transactions systématiques issues de processus si les prix baissent trop rapidement sur les marchés principaux et alternatifs (sociétés privées). Le système a encore été amélioré après 2008 et le flash crash du 6 mai 2010 L’exemple permet de comprendre comment l’assurance fonctionne, mais aussi comment elle peut facilement engendrer une spirale à la baisse si tout le monde fait la même chose

NEW YORK, March 30, The New York Stock Exchange will implement new circuit-breaker collar trigger levels for second-quarter 2012 effective Monday, April 2, Circuit-breaker points represent the thresholds at which trading is halted marketwide for single-day declines in the Dow Jones Industrial Average (DJIA). Circuit-breaker levels are set quarterly as 10, 20 and 30 percent of the DJIA average closing values of the previous month, rounded to the nearest 50 points. In second-quarter 2012, the 10-, 20- and 30-percent decline levels, respectively, in the DJIA will be as follows: Level 1 Halt (-10%) A 1,300-point drop in the DJIA before 2 p.m. will halt trading for one hour; for 30 minutes if between 2 p.m. and 2:30 p.m.; and have no effect if at 2:30 p.m. or later unless there is a level 2 halt. Level 2 Halt (-20%) A 2,600-point drop in the DJIA before 1:00 p.m. will halt trading for two hours; for one hour if between 1:00 p.m. and 2:00 p.m.; and for the remainder of the day if at 2:00 p.m. or later. Level 3 Halt (-30%) A 3,900-point drop will halt trading for the remainder of the day regardless of when the decline occurs. Background: Circuit-breakers are calculated quarterly. The percentage levels were first implemented in April 1998 and the point levels are adjusted on the first trading day of each quarter. In 2012, those dates are Jan. 3, April 2, July 2 and Oct. 1.

Exemple : Soit un portefeuille original de 200 M$ 120M $ d’actions 80M $ de bons du trésor Valeur plancher = 140M $ Coussin c = = 60M $ C’est la valeur que l’on peut perdre avant d’atteindre le plancher Exposition e = 120M $ C’est la valeur des actifs risqués qui peuvent perdre de la valeur : Les actions L’exposition e = Multiplicateur que l’on garde constant x Coussin de sécurité Multiplicateur m = e / c = 120 / 60 = 2

Temps Portefeuille Action Exposition au risque Obligation Valeur planché Coussin t0 200 M$ 120 M$ 80 M$ 140 M$ 60 M$ t1 190 M$ Baisse de l’indice 110 M$ 50 M$ On rebalance : nouvelle exposition = m x coussin = 2 x 50 = 100  on vend 10 M$ d’action qu’on investit dans les obligations Nouveau portefeuille 100 M$ 90 M$ T1 à 2  les ventes poussent l’indice à la baisse… et on va devoir rebalancer t2 170 M$ 90M$ 140M$ 30 M$ 30M$

Temps Portefeuille Action Exposition au risque Obligation Valeur planché Coussin t2 170 M$ 60 M$ 110 M$ 140 M$ 30M$ t3 150 M$ 40 M$ 10M$ 20 M$ 130 M$ t4 10 M$ 0M$ Ultimement, le rebalancement fait en sorte qu’on diminue l’exposition au risque des actions jusqu’à éliminer complètement la proportion investie en actions 140M$ Supposer maintenant que ce soit des ordinateurs qui fassent cela, les ventes massives associé à la diminution progressive de la liquidité ne font qu’augmenter la baisse des prix

Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme
Ratio de couverture à variance minimum La proportion d’exposition qui doit être optimalement couverte est: S: prix spot F: prix Futures σS: écart-type de ΔS σF: écart-type de ΔF ρ: coefficient de corrélation entre ΔS et ΔF Portefeuille non couvert Prix de l ’action Futures couvert

Ratio de couverture à variance minimum Nombre optimal de contrats: N* = h* (NA / QF) NA : Nombre d'unités spot à couvrir QF : Nombre pour chaque contrat Futures N* : Nombre optimal de contrat Futures h* : La proportion d’exposition

Couverture à l’aide d’un Futures sur indice boursier Nombre optimal de contrats: N* = b (S / F*) b : Beta d'un portefeuille, représentant la sensibilité de la valeur du portefeuille aux variations du rendement du marché S : Valeur totale du portefeuille F*:Valeur sous-jacente à 1 contrat futures, soit le prix Futures de l’indice x taille d’un contrat

Couverture de portefeuille d’actions avec des Options
On considère un portefeuille d’actions et d’options La valeur du portefeuille total est V = S + h O La valeur du portefeuille couvert doit rester constant si la valeur des actions varie : On cherche donc à avoir ΔV/ΔS = 0 h = - 1/(Δ de l’option) Prix de l’option S c Pente =  l’action

Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging
Pourquoi le Delta-Hedging? Exemple: Je vends un call. Je fais maintenant face à un risque, qui dépend des variations du prix du sous-jacent. Précisément, j’ai un Delta non-nul Le delta change dans le temps, parce-que S change à chaque période, je dois donc neutraliser le Delta de façon dynamique : il s’agit donc d’une stratégie dynamique L’idée est donc de compenser les changements de valeur de l’option par des profits ou pertes sur le marché des actions. On aura donc un portefeuille constitué d’options et d’actions.

Pourquoi le Delta-Hedging? Exemple: Je vends un call Je vais acheter D actions. À chaque période, j’ajuste le nombre d’actions que je possède, selon le nouveau D. En fin de compte, le risque D de ma vente de call est neutralisé. Le coût du delta-hedging est environ égal au prix Black-Scholes d’une option call correspondante En fait, on a créé synthétiquement une position longue de call!

Représentation graphique du delta d’une option Le Delta est le taux changement du prix de l’option par rapport au sous-jacent Prix de l’option Pente =  c Prix de l’action S

Calcul du D d’une option Delta d’une option d’achat Δc= N(d1) > 0 Delta d’une option de vente Δp = N(d1) – 1 < 0 Δp = Δc – 1 < 0 De façon générale, avec q le taux de dividende : Δc = e–qT N(d1) > 0 Δp = e–qT [N(d1) -1] < 0

Delta Hedging avec Futures On remplace le sous-jacent par son prix Futures. Le prix Futures est très corrélé avec le prix spot. Les frais de transactions sont moins élevés, et on ne débourse rien à l’origine. Ajustements nécessaires: Prix Futures: F = S e(r-q)T Variation: ΔF = ΔS e(r-q)T donc, besoin d’une moins grande quantité de Futures Quantité de Futures à détenir QFutures = e–(r-q)T Qactif sous-jacent

Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique avec wi = nombre d’options i

Exemple : Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique Position longue dans options d’achat de Nortel avec K=14 et delta=0.538 Position courte dans options d’achat de Nortel avec K=15 et delta=0.475 Position courte dans options de vente de Nortel avec K=15 et delta=-.510 Quelle est la stratégie à adopter pour obtenir un delta neutre?

Exemple: Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique Delta des composantes du portefeuille: x = 5380 x = -7125 x (-.510) = 2550 Delta du portfeuille: 5380 – = 805 Pour neutraliser le delta, il faut prendre une position courte dans 805 actions On peut valider le signe de la position finale avec la pente de la position. Positif: long call ou short put; Négatif: short call ou long put. Le delta d’une action est égal à 1

Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités
Gamma (G) est le taux de variation de delta (D) par rapport au prix du sous-jacent. Vega (V) est le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité. Rho est le taux de variation de la valeur de l’option par rapport au taux d’intérêt. Theta (t) d’une option est le changement de sa valeur par rapport à la variation de temps

Modification du Gamma Pour modifier le Gamma d’un portefeuille, on doit introduire une certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille nouveauГptf = vieuxГptf + w Гnouvelle option Si on désire que le Gamma soit égal à zéro, alors on doit ajouter

Exemple de Modification du Gamma On a un portefeuille delta neutre avec Gamma=-5000 On veut acheter des options d’achat avec delta=0.65 et gamma=2.5 Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un gamma neutre? Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un delta neutre

Exemple de Modification du Gamma Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un gamma neutre? nouveauГptf = vieuxГptf + w Гnouvelle option 0 = w w = 2000 Pour neutraliser le gamma, il faut prendre une position longue de dans la nouvelle option Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un delta neutre? Nouveau delta = x.65 = 1300 Pour neutraliser le delta, il faut prendre une position courte dans 1300 actions

Modification du Vega le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité Le Vega est le même pour une option d’achat ou de vente.

Modification du Vega Pour modifier le Vega d’un portefeuille, on doit introduire une certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille: nouveauVptf = vieuxVptf + w Vnouvelle option Si on désire que le Vega soit égal à zéro, alors on doit ajouter

Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre Soit un portefeuille delta neutre avec un gamma de et un vega de -8000 Option 1: delta=0.6, gamma=0.5 et vega=2 Option 2: delta=0.5, gamma=0.8 et vega=1.2 Quelle stratégie doit-on adopter pour rendre le portefeuille neutre au delta, au gamma et au vega?

Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre Système à 2 équations pour Gamma et Vega : nouveauГptf = vieuxГptf + w1 Гnouvelle option1 + w2 Гnouvelle option2 nouveauVptf = vieuxVptf + w1 Vnouvelle option1 + w2 Vnouvelle option2 0 = w w2 0 = w w2 d’où w1 = 400 et w2 = 6000

Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre Et enfin le nouveau delta = 400 x x 0.5 = 3240 Pour neutraliser le delta, il faut donc prendre une position courte dans 3240 actions

VaR = 2.33 x √N x sj x Valeur du portefeuille
La VaR, Value at Risk Qu’est ce que la Value at Risk (VaR)? La VaR consiste à être certain à X% de ne pas perdre plus de V dollars dans les N prochains jours. VaR = 2.33 x √N x sj x Valeur du portefeuille Exemple: Être certain à 99% de ne pas perdre plus de V dollars dans les prochains 10 jours. V est la VaR de 10 jours pour un intervalle de confiance de 99%.

La volatilité par jour d’IBM est 2%
La VaR, Value at Risk Exemple : IBM La volatilité par jour d’IBM est 2% La taille du portefeuille est 10 M$ L’écart-type du changement sur un jour : 2% x 10M $ = $ L’écart-type du changement sur 10 jours est : x √10 = $ La VaR à 99% est 2.33 x = $

La volatilité par jour d’IBM est 1% La taille du portefeuille est 5 M$
La VaR, Value at Risk Exemple : AT&T La volatilité par jour d’IBM est 1% La taille du portefeuille est 5 M$ L’écart-type du changement sur un jour : 1% x 5M $ = $ L’écart-type du changement sur 10 jours est : x √10 = $ La VaR à 99% est 2.33 x = $

Exemple : Portefeuille combiné IBM - AT&T La corrélation est  = 0.7
La VaR, Value at Risk Exemple : Portefeuille combiné IBM - AT&T La corrélation est  = 0.7 L’écart-type de 10 jours est : La VaR est de : 2.33 x = $ Le bénéfice de la diversification est de : – = $

Définition de la titrisation
Technique financière qui consiste à transformer des actifs non liquides d’une entreprise ou d’une institution financière en des titres liquides négociables sur le marché des capitaux.

Processus ou « Securitization » L'établissement initiateur des crédits cède le bloc de créances à titriser à une structure d'accueil ou un organisme ad hoc qui finance l'acquisition de ces créances par l'émission de titres négociables sur le marché des capitaux. Aux États-Unis la structure d'accueil est souvent appelé Special Purpose Vehicle, SPV, alors qu'il s'agit d'un fonds commun de créances (FCC) en France. Le capital et les intérêts des titres émis en représentation des créances sont constitués par le principal et les intérêts des créances cédées.

Pourquoi la titrisation?
La titrisation permet de réduire la taille du bilan, ce qui permet de: Accroître la capacité d’emprunt Rencontrer les tests de capital minimum Accéder à des marchés de capitaux qui n’étaient pas accessible auparavant Accroître la rentabilité dans la mesure où des revenus immédiats sont substitués à des revenus d’intérêt s’échelonnant sur plusieurs périodes. La titrisation permet de transférer certains risques à des investisseurs plus aptes à les assumer. L’entreprise réduit ainsi son risque de liquidité

Pourquoi la titrisation?
Ce qui a favorisé la titrisation : La réglementation bancaire Le désappariement entre la sensibilité aux variations des taux d’intérêt des actifs et des passifs des banques. Des changements technologiques comme: Nouvelles techniques d’évaluation des actifs Développements informatiques

Les types de titres adossés à des créances (ABS)
Titres de créances ou de participation issus d'une opération de titrisation de créances garanties par des créances. Ces titres placés auprès d'investisseurs sur le marché des capitaux sont représentatifs d'un portefeuille de créances, regroupées et cédées à l'émetteur par l'établissement initiateur des crédits. Les titres de créances ou de participation sont aussi issus d'une opération de titrisation de créances autres que des créances tels que prêts commerciaux, soldes de carte de crédit, prêts pour achat d'automobiles, autres créances résultant d'opérations de crédit. Les flux de capital et d'intérêt issus des créances hypothécaires sous-jacentes peuvent être transmis aux porteurs des titres avec transformation, selon le cas Ceux sont les Assets Backed Securities

Les types de titres adossés à des créances (ABS)
Caractéristiques spéciales des obligations adossées à des soldes de cartes de crédit Le capital n’est pas amorti (lockout period) pour une période qui peut varier de 18 mois à 10 ans. Pendant cette période, la Fiducie utilise les fonds pour acheter des créances additionnelles. Après la période lockout suit la période principal-amortisation, avec trois structures différentes possibles: la structure pass-through (pay-through) la structure d’amortissement contrôlée avec un plan d’amortissement bien établi. avec remboursement intégral à l’échéance (bullet-payment structure). L’accumulation est faite par la fiducie

Les types de titres adossés à des créances Hypothécaires (MBS)
Titres de créances ou de participation issus d'une opération de titrisation de créances garanties par des créances hypothécaires. Types d’hypothèques: Taux hypothécaire fixe Taux hypothécaire variable La caractéristique principale de ce type de créance est la valeur importante et le risque de remboursement anticipé Ceux sont les fameuses Mortgage Backed Securities

Le risque de remboursement anticipé Les facteurs qui déterminent le taux de remboursement anticipé sont: Le niveau des taux d’intérêt Les saisons Âge du prêt hypothécaire Circonstances familiales Changement d’emploi Conflits de couple Nombre d’enfants Défaut de paiement Prix des maisons

Raisons pour rembourser avec anticipation Obligations adossées à des créances immobilières Baisse des taux d’intérêt Vente de la maison Obligations adossés à des prêts pour achat d'automobile Ventes et achats avec reprise (trade in) qui demandent le remboursement de l’emprunt Reprises de possession et revente Perte ou destruction de la voiture Remboursement du prêt pour raisons financières Refinancement à un taux inférieur (mineur!) Obligations adossés à des soldes de carte de crédit

Classification des MBS par les flux MBS avec flux identiques (pass through securities): Le flux en capital et en intérêt issus des créances sous-jacentes sont transmis aux porteurs de titre au fur et à mesure de leur encaissement par l'émetteur, sans aucune transformation. MBS avec des flux transformés (pay-through securities, collateralized mortgage/loan obligations, CMO/CLO): Le flux en capital et en intérêt issus des créances sous-jacentes sont transmis aux porteurs de titre après réaménagement, pas nécessairement au fur et à mesure de leur encaissement par l'émetteur. Le réaménagement des flux peut prendre une multitude de formes. Des taux de coupons différents Des échéances différentes Des obligations à taux variable (floater et inverse floater) Des valeurs nominales différentes

Classification des MBS par les flux MBS à coupons détachés (stripped morgage backed securities): Le flux en capital et en intérêt issus des créances sous-jacentes sont transmis aux porteurs de titre après réaménagement spécifique: Une obligation composée uniquement des remboursements de capital périodiques. Une obligation composée uniquement des paiements d’intérêt périodiques

Pourquoi acheter des MBS Les rendements sont supérieurs au taux sans risque ( points de base). Une multitude de produits sont offerts avec des caractéristiques de risque/rendement très différents. Les flux monétaires peuvent être mensuels. Le marché secondaire de ces titres est très liquide. Le risque de crédit est très faible. On peut s’en servir comme instrument dans une stratégie de couverture.

Modèle basé sur la théorie des options
Évaluation des MBS Modèle conventionnel Modèle basé sur la théorie des options La différence entre les deux modèles est basée sur les hypothèses faites par rapport aux remboursements anticipés

Évaluation des MBS Modèle conventionnel
Le modèle conventionnel d’évaluation des MBS est basé sur un ajustement fait aux flux futurs pour tenir compte des remboursements anticipés. Ceci implique d’adopter un modèle de remboursement anticipé (ex.: PSA, FHA) Modèles de remboursement anticipé: vie de 12 ans: pas de remboursement pour 12 ans et après remboursement complet) Taux de remboursement constant (constant prepayment rate, CPR): assume que la probabilité de remboursement est la même chaque mois. FHA (Federal Housing Administration): assume que les probabilités sont conformes au taux historique. PSA (Public Securities Association): le taux PSA est un taux de référence. Des taux de remboursement plus rapides (ex.: 200% PSA) où plus lents (ex. 50% PSA) peuvent être utilisés

Les produits exotiques - exemples
Asian option: Le flux monétaire de l’option dépend de la moyenne du prix du sous-jacent au cours de la vie de l’option. Max [0, Smoyen – X] Compound option: C’est une option pour acheter (ou vendre) une option d’achat ou de vente. C’est une option sur une option. Chooser option: C’est une option qui donne le droit de choisir si l’option sera une option d’achat ou de vente à la date T. Max (c, p)

Lookback option: Le flux monétaire de l’option dépend du prix maximum ou minimum atteint par le sous-jacent durant la vie de l’option. Pour une option d’achat: max [0, ST – Smin] Binary option: Pour une option d’achat: max [0, Q] c = Q e–rT N(d2) Equity swap: Permet d’échanger le rendement d’un indice boursier contre un taux fixe ou variable. L’avantage est de modifier le risque par rapport à l’indice sans avoir à acheter ou à vendre des actions.

Loss Equity Put (LEP) Souvent appelé « Catastrophe Equity Put » quand il est relié à un désastre naturel. Il représente une structure de capital contingent qui consiste à émettre de nouvelles actions quand un évènement de perte prédéfini survient La compagnie achète une option Put d’un intermédiaire, ce qui lui donne le droit de vendre un montant fixe d’actions (ordinaires ou privilégiées) si un évènement particulier de perte survient durant la vie du Put Put Protected Equity (PPE) Consiste pour une compagnie à acheter un Put sur ses propres actions afin de générer un gain économique si la valeur de ses actions baisse après un évènement de perte Cependant l’émission d’un Put sur ses propres actions pourrait envoyer un signal négatif sur la compagnie et pousser les investisseurs à céder leurs actions de la compagnie même si aucun évènement particulier ne s’est produit

Produits dérivés liés au climat: Produits dérivés définis en fonction de la température moyenne Très utilisé par les compagnies produisant ou consommant beaucoup d’électricité à des taux variables. Produits dérivés en fonction du vent CAT bonds: Obligations émises par les compagnies d’assurance avec un coupon élevé dont la valeur sert de garantie en cas de catastrophe, i.e. que si une catastrophe survient, l’assureur n’a plus à rembourser ni les intérêts ni le capital. Pour l’assureur, permet d’obtenir de la réassurance directement des marchés des capitaux, et donc diversifie les sources de réassurance. Pour l’investisseur, l’avantage est que les catastrophes ne présentent aucun risque de marché, ce qui peut être avantageux pour la diversification d’un portefeuille. Par contre, cela ne signifie pas qu’on ne peut pas obtenir le même effet autrement qu’avec des CAT bonds

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