1 Calcul Avancé Chapitre 2 Les fonctions à deux variables Section 1.

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1 1 Calcul Avancé Chapitre 2 Les fonctions à deux variables Section 1

2 2 La représentation de z=f(x,y) Donner à x (ou à y) une série de valeurs constantes; Pour chacune de ces valeurs, représenter la fonction implicite f(y,z)=k dans un plan parallèle à Oyz (f(x,z)=k dans un plan parallèle à Oxz; Empiler les courbes obtenues selon l’axe x (selon l’axe y) et esquisser la surface. Courbes de niveau Les sections Donner à z une série de valeurs constantes; Pour chacune de ces valeurs, représenter la fonction implicite f(x,y)=k dans un plan; Empiler les courbes obtenues et esquisser la surface.

3 3 Démontrer l’existence d’une limite (ε, δ) Il s’agit d’utiliser une définition de la limite qui dépasse le flou de l’expression « tend vers » ou « est infiniment proche de ». L’idée de Weierstrass est qu’il suffit de prouver qu’à chaque voisinage V ε de la limite L à laquelle appartient la fonction z=f(x,y), on est capable d’associer un voisinage Vδ du point (x 0,y 0 ) vers lequel tendent les variable x et y. Cela se traduit par : En pratique

4 4 Les dérivées partielles de z=f(x,y) La dérivée partielle par rapport à x en un point (x 0,y 0 ) est la pente de la tangente à la courbe définie par l’intersection de la surface z=f(x,y) avec le plan y=y 0 La dérivée partielle par rapport à y en un point (x 0,y 0 ) est la pente de la tangente à la courbe définie par l’intersection de la surface z=f(x,y) avec la plan x=x 0 Définitions Interprétation Dérivée partielle par rapport à x (y est supposée constante) Dérivée croisée

5 5 La différentielle de z=f(x,y) La différentielle La linéarisation Différentielle de la fonction z: Linéariser la fonction z :