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Mathématiques SN Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Réalisé par : Sébastien Lachance.

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1 Mathématiques SN Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Réalisé par : Sébastien Lachance

2 Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Cercle trigonométrique DÉFINITION : Le cercle trigonométrique est un cercle centré à lorigine du plan cartésien et ayant un rayon égal à 1. 123-2-3 1 2 3 -2 -3yx

3 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables côté adjacent hypoténuse cos = x1 cos = x 1 P( ) = (, ) x y x y côté opposé hypoténuse sin = y1 sin = y cos cos sin sin On sait que :

4 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables P(50 o ) = (, ) cos 50 o sin 50 o Exemple : A) Angle de 50 o x y 1 50 0 x = cos x = cos x = cos 50 o x 0,64 y = sin y = sin y = sin 50 o y 0,77 P(50 o ) = (, ) 0,640,77

5 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables P(73 o ) = (, ) cos 73 o sin 73 o Exemple : B) Angle de 73 o x = cos x = cos x = cos 73 o x 0,29 y = sin y = sin y = sin 73 o y 0,96 P(73 o ) = (, ) 0,290,96 1 x y 73 0

6 1 1yx 30 0 1 Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 30 o Angle de 30 o Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à langle de 30 o est la moitié de celle de lhypoténuse ! Par Pythagore : x12 x 2 + = 1 2 2 14 x 2 + = 1 14 x 2 = 1 – 34 x 2 = 34 x = 32 32 12

7 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 30 o Angle de 30 o Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à langle de 30 o est la moitié de celle de lhypoténuse ! Par Pythagore : 12 x 2 + = 1 2 2 14 x 2 + = 1 14 x 2 = 1 – 34 x 2 = 34 x = 32 P(30 o ) = (, ) 12 32 30 0 1 3 2 1 2

8 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 45 o Angle de 45 o Par Pythagore : x 2 + x 2 = 1 2 12 x 2 = 12 22 x = 45 0 1 x x 2x 2 = 1 x = 12 Il faut rationnaliser ! 22 22

9 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 45 o Angle de 45 o Par Pythagore : x 2 + x 2 = 1 2 12 x 2 = 12 22 x = 2x 2 = 1 x = 12 Il faut rationnaliser ! 45 0 1 2 2 2 2 P(45 o ) = (, ) 22 22

10 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 60 o Angle de 60 o 60 0 1 30 0 Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à langle de 30 o est la moitié de celle de lhypoténuse ! 12 x Par Pythagore : 12 x 2 + = 1 2 2 14 x 2 + = 1 14 x 2 = 1 – 34 x 2 = 34 x = 32 32

11 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 60 o Angle de 60 o 30 0 Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à langle de 30 o est la moitié de celle de lhypoténuse ! Par Pythagore : 12 x 2 + = 1 2 2 14 x 2 + = 1 14 x 2 = 1 – 34 x 2 = 34 x = 32 60 0 1 1 2 3 2 32 12 P(60 o ) = (, )

12 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables P(30 o ) = (, ) 2 3 2 1 P(60 o ) = (, ) 2 3 2 1 P(45 o ) = (, ) 2 2 2 2 P(135 o ) = (, ) 2 2 2 2- P(150 o ) = (, ) 2 3 2 1- P(120 o ) = (, ) 2 3 2 1- - P(240 o ) = (, ) 2 3 2 1- P(225 o ) = (, ) 2 2 2 2 -- P(210 o ) = (, ) 2 3 2 1-- P(300 o ) = (, ) 2 3 2 1- P(315 o ) = (, ) 2 2 2 2- P(330 o ) = (, ) 2 3 2 1- P(0 o ) = ( 1, 0 ) P(90 o ) = ( 0, 1 ) P(180 o ) = ( - 1, 0 ) P(270 o ) = ( 0, - 1 ) P( 360 o ) = ( 1, 0 )

13 Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Radians DÉFINITION : Il correspond à la mesure de langle au centre dont les côtés interceptent un arc dont la longueur est égale au rayon. 1 1yx 11 Le radian est une autre façon de mesurer un angle. 1 radian

14 yx 0,2832 radian 0,2832 radian Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1, calculons sa circonférence. C = 2 r C = 2 x 1 C = 2 C = 2 On retrouve donc 2 radians dans un cercle trigonométrique. Soit 2 x 3,1416 6,2832 radians. (1 radian 57,3 0 ) 1 1 1 1 1 1

15 yx 1 radian 0,2832 radian 0,2832 radian 1 1 1 1 1 1 Conversions DEGRÉS RAD OU On peut donc effectuer la proportion suivante : 360 o = 2 rad 180 o = rad Degrés 360 o Radians 2 = OU Degrés 180 o Radians =

16 Conversions DEGRÉS RAD Exemples : 90 0 90 0 360 0 x 2 = 2 x 90 0 360 0 = x x = 2 A) Angle de 90 o 30 0 30 0 360 0 x 2 = 2 x 30 0 360 0 = x x = 6 B) Angle de 30 o rad rad 45 0 45 0 360 0 x 2 = 2 x 45 0 360 0 = x x = 4 C) Angle de 45 o rad 60 0 60 0 360 0 x 2 = 2 x 60 0 360 0 = x x = 3 D) Angle de 60 o rad

17 Conversions DEGRÉS RAD 0 0o0o0o0o DEGRÉS RADIANS Angles IMPORTANTS : 6 30 o 4 45 o 3 60 o 90 o 2 180 o 2 3 270 o 360 o 2

18 Conversions DEGRÉS RAD 1 1yx P(30 o ) = (, ) 2 3 2 1 P(60 o ) = (, ) 2 3 2 1 P(45 o ) = (, ) 2 2 2 2 P(135 o ) = (, ) 2 2 2 2- P(150 o ) = (, ) 2 3 2 1- P(120 o ) = (, ) 2 3 2 1- - P(240 o ) = (, ) 2 3 2 1- P(225 o ) = (, ) 2 2 2 2 -- P(210 o ) = (, ) 2 3 2 1-- P(300 o ) = (, ) 2 3 2 1- P(315 o ) = (, ) 2 2 2 2- P(330 o ) = (, ) 2 3 2 1- P(0 o ) = ( 1, 0 ) P(90 o ) = ( 0, 1 ) P(180 o ) = ( - 1, 0 ) P(270 o ) = ( 0, - 1 ) Cercle trigonométrique P( 360 o ) = ( 1, 0 )

19 Conversions DEGRÉS RAD 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2- 2 3 2 1- 2 3 2 1- - 2 3 2 1- 2 2 2 2 -- 2 3 2 1-- 2 3 2 1- 2 2 2 2- 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) Cercle trigonométrique 6 4 3 6 7 4 5 43 6 5 4 3 23 6 11 11 4 7 53 32 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

20 Valeurs exactes de sin, cos et tan Valeurs exactes de sin, cos et tan Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

21 Valeur exacte de sin, cos et tan Valeur exacte de sin, cos et tan cos = x sin = y On sait que : 1 1yx 1 P( ) = (, ) x y cos cos sin sin Aussi : sin sin cos cos tan = Donc : yx tan =

22 Valeur exacte de sin, cos et tan Valeur exacte de sin, cos et tan Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) 7 6 sin

23 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

24 Valeur exacte de sin, cos et tan Valeur exacte de sin, cos et tan Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) 7 6 sin Réponse : 2 b) 34 sin

25 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

26 Valeur exacte de sin, cos et tan Valeur exacte de sin, cos et tan Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) 7 6 sin Réponse : 2 b) 34 sin 22 c) 34 cos

27 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

28 Valeur exacte de sin, cos et tan Valeur exacte de sin, cos et tan Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) 7 6 sin Réponse : 2 b) 34 sin 22 c) 34 cos - 2 2 d) 53 cos

29 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

30 Valeur exacte de sin, cos et tan Valeur exacte de sin, cos et tan Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) 7 6 sin Réponse : 2 b) 34 sin 22 c) 34 cos - 2 2 d) 53 cos Réponse : 12 e)4 tan

31 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

32 Valeur exacte de sin, cos et tan Valeur exacte de sin, cos et tan Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : a) 7 6 sin Réponse : 2 b) 34 sin 22 c) 34 cos - 2 2 d) 53 cos Réponse : 12 e)4 tan sin ( / 4) cos ( / 4) = 22 22 =1

33 Valeur exacte de sin, cos et tan Valeur exacte de sin, cos et tan Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : f) 2 3 tan

34 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

35 Valeur exacte de sin, cos et tan Valeur exacte de sin, cos et tan Ex. : Déterminer la valeur exacte des expressions suivantes : f) 2 3 tan Réponse : sin (2 / 3) cos (2 / 3) = 32 - 1 2 = 32 x - 2 1 = - 3

36 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

37 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

38 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2 b) -4 rad Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

39 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

40 (, ) Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2 b) -4 rad Réponse : 22 - 2 2 c) 11 11 4 rad Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

41 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

42 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2 Réponse : - 2 2 (, ) 22 b) -4 rad Réponse : 22 - 2 2 c) 11 11 4 rad d) 10 10 3 rad Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

43 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

44 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2 Réponse : - 2 2 (, ) 22 b) -4 rad Réponse : 22 - 2 2 c) 11 11 4 rad d) 10 10 3 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2 Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

45 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. e) - 8 - 8 6 rad Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

46 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

47 (, ) Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. e) - 8 - 8 6 rad Réponse : 322 f) -2 rad Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

48 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

49 (, ) Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. e) - 8 - 8 6 rad f) -2 rad Réponse : g) rad 0 - 1 - 5 - 5 (, ) Réponse : 322 Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

50 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

51 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. h) 11 11 8 rad (, ) e) - 8 - 8 6 rad f) -2 rad Réponse : 0 - 1 (, ) Réponse : 322 (, ) Réponse : - 1 0 g) rad - 5 - 5 (, ) Réponse : cos 11 11 8 sin 8 ( - 0,3827, - 0,9239 ) Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE -

52 Longueur darc Mathématiques SN - Le CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE - Dans tout cercle de rayon « r », on détermine la longueur (L) dun arc AB de la façon suivante : 1 1yx r A B L = x r Exemples : m AB = 1,5 x 6 m AB = 9 cm Dans un cercle de rayon 6 cm, quelle est la mesure de larc intercepté par un angle au centre de 1,5 rad ? L


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