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Mathématiques SN MODULE 8 Les fonctions SINUSOÏDALES Réalisé par : Sébastien Lachance En collaboration avec : Jean-Pierre Rousseau.

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1 Mathématiques SN MODULE 8 Les fonctions SINUSOÏDALES Réalisé par : Sébastien Lachance En collaboration avec : Jean-Pierre Rousseau

2 Équations et graphiques Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - f(x) = sin x (forme générale de BASE) f(x) = a sin [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Les paramètres a, b, h, k influencent louverture (dilatation ou contraction), lorientation du graphique ainsi que la position du sommet. Exemple : f(x) = - 2 sin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 a bhk a = - 2 b = 3 h = 1 k = 4 f(x) = cos x (forme générale de BASE) f(x) = a cos [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Fonction SINUS Fonction COSINUS

3 - 1 1 f(x) = sin x (forme générale de BASE) xf(x) Langle « x » nest pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » Fonction SINUS

4 f(x) = sin x (forme générale de BASE) xf(x) Langle « x » nest pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » Fonction SINUS

5 - 1 1 f(x) = cos x (forme générale de BASE) xf(x) Fonction COSINUS

6 f(x) = sin x f(x) = cos x

7 f(x) = sin x f(x) = cos x – / 2 cos x = sin ( x + / 2 cos x = sin ( x + / 2 ) La fonction COSINUS est une fonction SINUS qui a subie une translation horizontale de / 2 vers la gauche. La fonction COSINUS est une fonction SINUS qui a subie une translation horizontale de / 2 vers la gauche. Cette translation est appelée DÉPHASAGE. Cette translation est appelée DÉPHASAGE. Comme cest le paramètre « h » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que : Comme cest le paramètre « h » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que : (car h = - / 2 ) OU sin x = cos ( x – / 2 sin x = cos ( x – / 2 ) (car h = / 2 ) La fonction COSINUS est donc une fonction SINUSOÏDALE. La fonction COSINUS est donc une fonction SINUSOÏDALE.

8 f(x) = sin x Les fonctions SINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES. Les fonctions SINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète. CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète. 2 PÉRIODE : Longueur dun CYCLE. PÉRIODE : Longueur dun CYCLE. AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction. AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction. Cycle Période P = 2 | b | A = Max – Min 2 A A = | a |

9 f(x) = 2 sin ( x ) PÉRIODE = 3 PÉRIODE = 3 AMPLITUDE = 2 AMPLITUDE = 2 Cycle Période P = 2 | b | A = Max – Min 2 A Exemple : 23 3 P = 2 23 = 2 x 32 = 3 = 3 A = 2 – -2 2 = 2 A = | a | A = | 2 | A = 2

10 Représentation graphique Méthode du RECTANGLE : On forme un rectangle qui contient un cycle de la fonction. SINUS COSINUS Période Période A A A A (h, k) (h, k + a) ATTENTION ! Le signe des paramètres a et b influencent lorientation du graphique ! Donc si a est négatif ou b est négatif, on obtient : SINUS COSINUS Période Période A A A A (h, k) (h, k – a)

11 Tracer f(x) = 2 sin 2 ( x + ) P A Exemple #1 : 3 P = 2 | b | = 2 | 2 | = (h, k) = (-, 2) A = | a | = | 2 | = 2

12 Tracer f(x) = - 2 sin ( x – /2 ) A Exemple #2 : 3 P = 2 | b | = 2 | 1 | = 2 = 2 (h, k) = ( /2, 1) A = | a | = | - 2 | = 2 P

13 Déterminer léquation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme : A Exemple #3 : 3 P = 2 | b | 2 3 = (h, k) = (-, 3) A = | a | 5 = a 5 = a P A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k 2 3 | b | = = 2 23 f(x) = 5 sin ( x + ) + 3 Réponse : 23

14 Déterminer léquation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme : Exemple #3 : 3 P = 2 | b | 2 3 = (h, k) = (-, 3) A = | a | 5 = a 5 = a A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k 2 3 | b | = = 2 23 P = 2 | b | 2 3 = (h, k) = (- /4, 3) A = | a | 5 = a 5 = a 2 3 | b | = = 2 23 f(x) = 5 sin ( x + ) + 3 Réponse : 23 A P f(x) = 5 cos ( x + ) + 3 Réponse : 23 4

15 Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - Cercle trigonométrique DÉFINITION : Le cercle trigonométrique est un cercle centré à lorigine du plan cartésien et ayant un rayon égal à yx

16 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables côté adjacent hypoténuse cos = x1 cos = x 1 P( ) = (, ) x y x y côté opposé hypoténuse sin = y1 sin = y cos cos sin sin On sait que :

17 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables P(50 o ) = (, ) cos 50 o sin 50 o Exemple : A) Angle de 50 o x y x = cos x = cos x = cos 50 o x 0,64 y = sin y = sin y = sin 50 o y 0,77 P(50 o ) = (, ) 0,640,77

18 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables P(73 o ) = (, ) cos 73 o sin 73 o Exemple : B) Angle de 73 o x = cos x = cos x = cos 73 o x 0,29 y = sin y = sin y = sin 73 o y 0,96 P(73 o ) = (, ) 0,290,96 1 x y 73 0

19 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 30 o Angle de 30 o Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à langle de 30 o est la moitié de celle de lhypoténuse ! Par Pythagore : x12 x 2 + = x 2 + = 1 14 x 2 = 1 – 34 x 2 = 34 x =

20 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 30 o Angle de 30 o Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à langle de 30 o est la moitié de celle de lhypoténuse ! Par Pythagore : 12 x 2 + = x 2 + = 1 14 x 2 = 1 – 34 x 2 = 34 x = 32 P(30 o ) = (, )

21 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 45 o Angle de 45 o Par Pythagore : x 2 + x 2 = x 2 = x = x x 2x 2 = 1 x = 12 Il faut rationnaliser ! 22 22

22 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 45 o Angle de 45 o Par Pythagore : x 2 + x 2 = x 2 = x = 2x 2 = 1 x = 12 Il faut rationnaliser ! P(45 o ) = (, ) 22 22

23 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 60 o Angle de 60 o Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à langle de 30 o est la moitié de celle de lhypoténuse ! 12 x Par Pythagore : 12 x 2 + = x 2 + = 1 14 x 2 = 1 – 34 x 2 = 34 x = 32 32

24 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables Angle de 60 o Angle de 60 o 30 0 Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à langle de 30 o est la moitié de celle de lhypoténuse ! Par Pythagore : 12 x 2 + = x 2 + = 1 14 x 2 = 1 – 34 x 2 = 34 x = P(60 o ) = (, )

25 1 1yx Coordonnées dANGLES remarquables P(30 o ) = (, ) P(60 o ) = (, ) P(45 o ) = (, ) P(135 o ) = (, ) P(150 o ) = (, ) P(120 o ) = (, ) P(240 o ) = (, ) P(225 o ) = (, ) P(210 o ) = (, ) P(300 o ) = (, ) P(315 o ) = (, ) P(330 o ) = (, ) P(0 o ) = ( 1, 0 ) P(90 o ) = ( 0, 1 ) P(180 o ) = ( - 1, 0 ) P(270 o ) = ( 0, - 1 ) P( 360 o ) = ( 1, 0 )

26 Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - Radians DÉFINITION : Il correspond à la mesure de langle au centre dont les côtés interceptent un arc dont la longueur est égale au rayon. 1 1yx 11 Le radian est une autre façon de mesurer un angle. 1 radian

27 yx 0,2832 radian 0,2832 radian Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1, calculons sa circonférence. C = 2 r C = 2 x 1 C = 2 C = 2 On retrouve donc 2 radians dans un cercle trigonométrique. Soit 2 x 3,1416 6,2832 radians. (1 radian 57,3 0 )

28 yx 1 radian 0,2832 radian 0,2832 radian Conversions DEGRÉS RAD OU On peut donc effectuer la proportion suivante : 360 o = 2 rad 180 o = rad Degrés 360 o Radians 2 = OU Degrés 180 o Radians =

29 Conversions DEGRÉS RAD Exemples : x 2 = 2 x = x x = 2 A) Angle de 90 o x 2 = 2 x = x x = 6 B) Angle de 30 o rad rad x 2 = 2 x = x x = 4 C) Angle de 45 o rad x 2 = 2 x = x x = 3 D) Angle de 60 o rad

30 Conversions DEGRÉS RAD 0 0o0o0o0o DEGRÉS RADIANS Angles IMPORTANTS : 6 30 o 4 45 o 3 60 o 90 o o o 360 o 2

31 Conversions DEGRÉS RAD 1 1yx P(30 o ) = (, ) P(60 o ) = (, ) P(45 o ) = (, ) P(135 o ) = (, ) P(150 o ) = (, ) P(120 o ) = (, ) P(240 o ) = (, ) P(225 o ) = (, ) P(210 o ) = (, ) P(300 o ) = (, ) P(315 o ) = (, ) P(330 o ) = (, ) P(0 o ) = ( 1, 0 ) P(90 o ) = ( 0, 1 ) P(180 o ) = ( - 1, 0 ) P(270 o ) = ( 0, - 1 ) Cercle trigonométrique P( 360 o ) = ( 1, 0 )

32 Conversions DEGRÉS RAD 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) Cercle trigonométrique P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

33 Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - Résolutions déquations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 3 = 2 sin x 32 = sin x 32 sin -1 ( ) = x Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 32

34 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

35 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 3 = 2 sin x 32 = sin x 32 sin -1 ( ) = x Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 32 3 x 1 = 23 x 2 = et Comme x 1 et x 2 sont les zéros à lintérieur de 1 cycle seulement, il faut aussi nommer tous les autres ! P P = 2 | b | 2 | 1 | P = Période = 2 = 2 Réponse : x + 2 n, + 2 n où n x + 2 n, + 2 n où n P – 1 P

36 sin -1 ( ) = 3x Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 = - sin 3x 12 = sin 3x 12 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 12 2

37 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

38 6 3x = 56 et P = 2 | b | 2 | 3 | P = Période Réponse : x + n, + n où n x + n, + n où n sin -1 ( ) = 3x Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 = - sin 3x 12 = sin 3x 12 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? x 1 = 518 x 2 = 23 = 23 23

39 cos -1 ( ) = (x + ) Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 = cos (x + ) 12 Quel est langle dont la valeur en « x » est ? 12 12

40 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

41 cos -1 ( ) = (x + ) Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 = cos (x + ) – 1 12 Quel est langle dont la valeur en « x » est ? x + = 53 et x 1 = 23 x 2 = P = 2 | b | 2 | 1 | P = Période = 2 = 2 Réponse : x + 2 n, + 2 n où n x + 2 n, + 2 n où n

42 sin -1 ( ) = (x + 1) Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 = sin (x + 1) 2 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? 2 2

43 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

44 sin -1 ( ) = (x + 1) Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 = sin (x + 1) 2 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? (x + 1) = (x + 1) = (x + 1) = (x + 1) = et P = 2 | b | 2 | | P = Période Réponse : x + 2n, + 2n où n x + 2n, + 2n où n x 1 = 56 x 2 = = x + 1 = x + 1 =

45 cos -1 ( ) = x Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x = 2 cos x + 2 = cos x Quel est langle dont la valeur en « x » est ?

46 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

47 cos -1 ( ) = x Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x = 2 cos x + 2 = cos x Quel est langle dont la valeur en « x » est ? x = x = 54 et 3 4 x = 34 x 1 = 5 4 x = 54 x 2 = P = 2 | b | 2 | | P = Période Réponse : x + 2n, + 2n où n x + 2n, + 2n où n = 2

48 sin -1 ( ) = (x – 0,25) Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) = -45 sin (x – 0,25) + 15 = sin (x – 0,25) 13 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

49 1 1yx P( 1 ) = (, ) P( 2 ) = (, ) = – 1 2 = – 1 1

50 sin -1 ( ) = (x – 0,25) Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) = -45 sin (x – 0,25) + 15 = sin (x – 0,25) 13 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,34 = (x – 0,25) et – 0,34 = (x – 0,25) – 0,34 = (x – 0,25)

51 1 1yx P( 1 ) = (, ) P( 2 ) = (, ) = – 0,34 2 = – 0,34 0,34 - 0,34 2 = 2,8 2 = 2,8

52 sin -1 ( ) = (x – 0,25) Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) = -45 sin (x – 0,25) + 15 = sin (x – 0,25) 13 Quel est langle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,34 = (x – 0,25) et – 0,34 = (x – 0,25) – 0,34 = (x – 0,25) 0,3582 = x 1 2,8 = (x – 0,25) 1,1413 = x 2 P = 2 | b | 2 | | P = Période Réponse : x 0, n, 1, n où n x 0, n, 1, n où n = 2

53 cos -1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) Quel est langle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,4 = cos (0,5x – 2)

54 1 1yx P( 1 ) = ( 0,4, ) 1 P( 2 ) = ( 0,4, ) 2 2 = 2 – 1 2 = 2 – 1 1 0,4

55 cos -1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) Quel est langle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,4 = cos (0,5x – 2) 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2

56 1 1yx P( 1 ) = ( 0,4, ) 1 P( 2 ) = ( 0,4, ) 2 1,16 0,4 - 1, = 2 – 1,16 2 = 2 – 1,16 2 = 5,123 2 = 5,123

57 cos -1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) = 5 cos (0,5x – 2) Quel est langle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! 0,4 = cos (0,5x – 2) 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2 6,32 = x 1 5,123 = 0,5x – 2 14,25 = x 2 P = 2 | b | 2 | 0,5 | P = Période Réponse : x 6, n, 14, n où n x 6, n, 14, n où n = 4 = 4

58 Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - Résolutions dinéquations Exemple : Résoudre 2 sin 2 (x + ) P

59 Résoudre 2 sin 2 ( x + ) 0 Exemple : 2 (x + ) sin -1 ( 0 ) 2 sin 2 (x + ) 0 sin 2 (x + ) 0 Quel est langle dont la valeur en « y » est 0 ?

60 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

61 Résoudre 2 sin 2 ( x + ) 0 Exemple : 2 (x + ) = sin -1 ( 0 ) 2 sin 2 (x + ) = 0 sin 2 (x + ) = 0 Quel est langle dont la valeur en « y » est 0 ? 2 (x + ) = 0 2 (x + ) = 2 (x + ) = et P = 2 | b | 2 | 2 | P = Période Réponse : x [ - + n, + n ] où n x [ - + n, + n ] où n = x 1 = - x 1 = - x 2 =


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