Comment rédiger une démonstration ? - un triangle est équilatéral ?

Présentation au sujet: "Comment rédiger une démonstration ? - un triangle est équilatéral ?"— Transcription de la présentation:

1 Comment rédiger une démonstration ? - un triangle est équilatéral ?
Comment démontrer que : - un point est un point particulier ? - 2 droites sont parallèles ? - 2 droites ne sont pas parallèles ? - calculer la longueur d’un segment ? - 2 droites sont perpendiculaires - un triangle est rectangle ? - deux angles sont égaux ? - un triangle n’est pas rectangle ? - un triangle est isocèle ? - un triangle est équilatéral ? - un quadrilatère est un parallélogramme - un … est un rectangle ? - un … est un losange ? - un quadrilatère est un carré ? - un point est le milieu d’un segment ? - une droite est médiane, médiatrice,hauteur ou bissectrice ?

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3 1. En écrivant la propriété 2. Sans écrire la propriété
Soit un cercle C de diamètre [IJ] et K un point de ce cercle. Montrer que le triangle IJK est rectangle. K I J C 1. En écrivant la propriété 2. Sans écrire la propriété

4 On donne la conclusion :
On écrit les hypothèses : [IJ] est un diamètre du cercle C. K est un point du cercle C. K I J C On écrit la propriété : Si un côté d’un triangle est le diamètre d’un cercle et si le 3ème sommet est sur ce cercle alors ce triangle est rectangle. On donne la conclusion : donc le triangle IJK est rectangle en K.

5 On écrit précisément les hypothèses et on donne directement la
K I J C On écrit précisément les hypothèses et on donne directement la conclusion sans réciter la propriété que l’on utilise : K est un point du cercle de diamètre [IJ] donc le triangle IJK est rectangle en K.

6 Comment démontrer que deux droites sont parallèles ?
1. Avec les droites P P 2. Avec les angles P P 3. Avec les transformations P P 4. Avec les quadrilatères P 5. Avec la droite des milieux P 6. Avec la réciproque de la propriété de Thalès P Ex

7 P Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors
1. Avec les droites P Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. d1 d3 d2

8 1. Avec les droites P Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. d2 d1 d3

9 2. Avec les angles P Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux alors elles sont parallèles.  d d'

10 2. Avec les angles P Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux alors elles sont parallèles.  d d'

11 3. Avec les transformations
P Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles. d  d'

12 3. Avec les transformations
P. Si une droite est l’image d’une droite par une translation alors ces deux droites sont parallèles. d d'

13 4. Avec les quadrilatères
P Si un quadrilatère est un parallélogramme quelconque, un losange, un rectangle ou un carré alors ses côtés opposés sont parallèles. // //

14 5. Avec la droite des milieux
P Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

15 6. Avec la réciproque de la propriété de Thalès
P Si dans les triangles AMN et ABC : - A, M et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C ; alors (MN) et (BC) sont parallèles. AM AB AN AC = Exemple

16 Exemple : Démontrer que (JK) et (ML) sont parallèles.
5 cm M J 12 cm I L 7,5 cm 8 cm K Dans les triangles IML et IJK : J, I et L sont alignés dans le même ordre que K, I et M.

17 5 cm M J 12 cm I L 7,5 cm 8 cm K IL IJ 7,5 12 IM IK 5 8 = - = et 5  12 = 60 et 8  7,5 = 60 Les produits en croix sont égaux donc IM IK IL IJ =

18 IM IK 5 8 IL IJ 7,5 12 - = = et 5  12 = 60 et 8  7,5 = 60 Les produits en croix sont égaux donc IM IK IL IJ = D’après la réciproque de la propriété de Thalès, (JK) et (ML) sont parallèles.

19 Comment démontrer que deux droites
ne sont pas parallèles ? 6 cm 8 cm 4 cm 5 cm R V U T S

20 (UV) et (ST) ne sont pas parallèles.
6 cm 8 cm 4 cm 5 cm R V U T S Dans les triangles RUV et RST : - R, U et S sont alignés dans le même ordre que R, V et T. RU RS RV RT 5 8 4 6 4  8 = 32 6  5 = 30 = = Les produits en croix ne sont pas égaux donc RU RS RV RT donc  (UV) et (ST) ne sont pas parallèles.

21 Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires ?
Avec : P 1. Les droites 2. La tangente à un cercle P 3. Les droites remarquables P P P P 4. Les quadrilatères

22 1. Avec les droites P Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une alors elle est perpendiculaire à l’autre. d3 d1 d2

23 2. Avec la tangente à un cercle
P Si une droite est la tangente à un cercle alors elle est perpendiculaire au rayon au point de contact. A C O d

24 3. Avec les droites remarquables du triangle
P Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et elle passe par son milieu. d

25 3. Avec les droites remarquables du triangle
Si dans un triangle une droite est une hauteur alors elle passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. d

26 4. Avec les quadrilatères
P Si un quadrilatère est un un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires.

27 4. Avec les quadrilatères
P Si un quadrilatère est un un carré alors ses diagonales sont perpendiculaires.

28 Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?
1. Avec les angles P 2. Avec un cercle P 3. Avec la réciproque du théorème de Pythagore P Ex

29 1. Avec les angles P Si un triangle a deux angles complémentaires (leur somme est égale à 90°) alors il est rectangle. B ABC + ACB = 90° A C

30 2. Avec un cercle P Si un côté d’un triangle est le diamètre d’un cercle et si le 3ème sommet est sur ce cercle alors ce triangle est rectangle. A C B C O

31 3. Avec la réciproque du théorème de Pythagore
P Si un côté d’un triangle est le diamètre d’un cercle et si le 3ème sommet est sur ce cercle alors ce triangle est rectangle. B plus grand côté A C BC²=AB²+AC² Exemple

32 Exemple : Démontrer que le triangle RST est rectangle.
4 cm 5 cm S T 3 cm

33 Dans le triangle RST, [RT] est le plus long côté.
5 cm 4 cm RT² = 5² ST²+SR² = 3²+4² RT² = 25 ST²+SR² = 9+16 ST²+SR² = 25 S T 3 cm RT² = ST² + SR² D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en S.

34 Comment démontrer qu’un triangle
n’est pas rectangle ? Exemple : Démontrer que le triangle EFG n’est pas rectangle. 12 cm 9 cm 8 cm G F E

35 [FG] est le plus long côté.
12 cm 9 cm 8 cm G F E Dans le triangle EFG, [FG] est le plus long côté. FG² = 5² EF²+EG² = 8²+9² FG² = 25 EF²+EG² = 64+81 EF²+EG² = 145 FG²  EF² + EG² donc le triangle EFG n’est pas rectangle.

36 Comment démontrer qu’un triangle
est isocèle ? 1. Avec les côtés 2. Avec les angles

37 P Si un triangle a deux côtés égaux alors il est isocèle.
1. Avec les côtés P Si un triangle a deux côtés égaux alors il est isocèle. Sommet principal Base

38 P Si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle.
2. Avec les angles P Si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle.

39 qu’un triangle est équilatéral ?
Comment démontrer qu’un triangle est équilatéral ? 1. Avec les côtés 2. Avec les angles

40 P Si un triangle a trois côtés égaux alors il est équilatéral.
1. Avec les côtés P Si un triangle a trois côtés égaux alors il est équilatéral.

41 P Si un triangle a trois angles égaux alors il est équilatéral.
2. Avec les angles P Si un triangle a trois angles égaux alors il est équilatéral.

42 5. Avec un centre de symétrie 6. Avec les vecteurs 1 2
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ? 1. Avec la définition 2. Avec les diagonales 3. Avec les côtés opposés 1 2 4. Avec les angles 5. Avec un centre de symétrie 6. Avec les vecteurs 1 2 7. Avec une translation

43 P Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors
1. Avec la définition P Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme. //

44 P Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent
2. Avec les diagonales P Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.

45 3. Avec les côtés opposés (1) côtés opposés de même longueur
P Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur alors c’est un parallélogramme.

46 3. Avec les côtés opposés (2) a 2 côtés opposés parallèles
P Si un quadrilatère (non croisé) a 2 côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un parallélogramme. //

47 P Si un quadrilatère a ses angles opposés égaux alors
4. Avec les angles P Si un quadrilatère a ses angles opposés égaux alors c’est un parallélogramme.

48 5. Avec un centre de symétrie
P Si un quadrilatère a un centre de symétrie alors c’est un parallélogramme.

49 est un parallélogramme (éventuellement aplati).
6. Avec les vecteurs (1) P Si AB = CD alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). B A C D

50 6. Avec les vecteurs (2) P Si AB + AC = AD alors ABDC est un parallélogramme. D C B A

51 ABDC est un parallélogramme
7. Avec une translation P Si D est l’image de C par la translation de vecteur AB alors ABDC est un parallélogramme D B A C

52 Comment démontrer qu’un …
est un rectangle ? 1. Avec la définition 2. Avec les diagonales 3. Avec un angle droit

53 trois angles droits alors
1. Avec la définition P Si un quadrilatère a trois angles droits alors c’est un rectangle.

54 a ses diagonales de même longueur
2. Avec les diagonales P Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c’est un rectangle.

55 P Si un parallélogramme
3. Avec un angle droit P Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.

56 Comment démontrer qu’un …
est un losange ? 1. Avec la définition 1. Avec la définition 2. Avec les diagonales 3. Avec les côtés

57 1. Avec la définition P Si un quadrilatère a quatre côtés égaux alors c’est un losange.

58 ses diagonales perpendiculaires
2. Avec les diagonales P Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange.

59 deux côtés consécutifs égaux
3. Avec les côtés P Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux alors c’est un losange.

60 Comment démontrer qu’un quadrilatère est un carré ?
P Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange alors c’est carré.

61 Comment démontrer qu’un point est le milieu d’un segment ?
1. Avec la symétrie centrale 2. Avec le centre d’un cercle 3. Avec les droites remarquables du triangle : Médiatrice - Médiane 4. Avec un milieu et une parallèle 5. Avec un parallélogramme 6. Avec les vecteurs 1 2

62 1. Avec la symétrie centrale
P Si deux points A et A’sont symétriques par rapport à O alors O est le milieu de [AA’]. A A’ O

63 le centre de son cercle circonscrit
2. Avec le centre d’un cercle P Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse. C A O B

64 3. Avec les droites remarquables perpendiculaire à ce segment
du triangle (1) Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et elle passe par son milieu. d

65 3. Avec les droites remarquables et par le milieu du côté opposé
du triangle (2) P Si dans un triangle une droite est une médiane alors elle passe par un sommet et par le milieu du côté opposé d

66 4. Avec un milieu et une parallèle
P Si dans un triangle une droite passe par le milieu d’un côté et si elle est parallèle à un 2ème côté alors elle passe par le milieu du 3ème côté. //

67 5. Avec un parallélogramme
P Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

68 6. Avec les vecteurs (1) P Si AM = MB alors M est le milieu de [AB]. A B M

69 [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
6. Avec les vecteurs (2) P Si AB = DC alors [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. B C A D

70 Comment montrer qu'une droite est médiane, médiatrice
hauteur ou bissectrice ? Médiane "Média" Médiatrice Bissectrice d'un angle "Bi" Hauteur

71 Une médiane et une médiatrice passent par un milieu :
B Une médiane et une médiatrice passent par un milieu : leur nom contient "média"

72 On montre qu'elle passe par un sommet et par le milieu d'un côté.
Médiane On montre qu'elle passe par un sommet et par le milieu d'un côté. On montre qu'elle passe par le milieu d'un côté et par le point d'intersection de 2 médianes. On montre qu'elle passe par un sommet et par le point d'intersection de 2 médianes.

73 qu'elle passe par le milieu d'un côté et qu'elle est perpendiculaire
O Médiatrice qu'elle passe par le milieu d'un côté et qu'elle est perpendiculaire à ce côté. qu'elle passe par le milieu d'un côté et par le point d'intersection de 2 médiatrices. qu'elle est perpendiculaire à un côté et qu'elle passe par le point d'intersection de 2 médiatrices.

74 Une bissectrice partage en angle en 2 angles égaux : son nom contient
Bissectrice d'un angle Une bissectrice partage en angle en 2 angles égaux : son nom contient "bi" qui veut dire deux".

75 Bissectrice On montre qu'elle passe par un sommet et qu'elle partage l'angle en 2 angles égaux. On montre qu'elle passe par un sommet et par le point d'intersection de 2 bissectrices. Pas de 3ème possibilité !

76 Hauteur qu'elle passe par un sommet et qu'elle est perpendiculaire au côté opposé. qu'elle passe par un sommet et par le point d'intersection de 2 hauteurs. qu'elle est perpendiculaire à un côté et qu'elle passe par le point d'intersection de 2 hauteurs.

77 Comment montrer qu'un point est un point particulier d’un triangle ?
Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Centre du cercle inscrit Orthocentre

78 Centre de gravité Centre de gravité G
On montre que c’est le point d’intersection de 2 médianes. Centre de gravité G

79 Centre du cercle circonscrit Centre du cercle circonscrit
(autour du triangle) On montre que c’est le point d’intersection de 2 médiatrices.

80 Centre du cercle inscrit
(à l’intérieur du triangle) I On montre que c’est le point d’intersection de 2 bissectrices.

81 On montre que c’est le point d’intersection de 2 hauteurs.
Orthocentre Orthocentre H On montre que c’est le point d’intersection de 2 hauteurs.

82 Comment montrer que deux segments ont la même longueur ?
1. Avec un triangle 2. Avec un quadrilatère 3. Avec un polygone régulier 4. Avec une médiatrice 5. Avec une transformation

83 1. Avec un triangle On montre qu'ils sont les côtés d’un triangle isocèle. d’un triangle équilatéral.

84 2. Avec un quadrilatère On montre qu'ils sont les côtés consécutifs d’un cerf-volant, d’un losange ou d’un carré. On montre qu'ils sont les côtés opposés d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange ou d’un carré.

85 3. Avec un polygone régulier
P Si un polygone est régulier alors tous ses côtés sont égaux.

86 P Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors
4. Avec une médiatrice  A B d M P Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est à la même distance des extrémités du segment.

87 5. Avec une transformation
P L’image d’un segment par une transformation (symétrie axiale ou centrale, translation, rotation) est un segment de même longueur.

88 5. Avec une transformation
P L’image d’un cercle par une transformation (symétrie axiale ou centrale, translation, rotation) est un cercle de même rayon.

89 Comment calculer la longueur d’un segment ? 1. Avec 2 milieux
2. Avec une médiane 3. Avec un centre de gravité 4. Avec la propriété de Thalès 5. Avec le théorème de Pythagore Calculer la longueur de l’hypoténuse Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit 6. Avec la trigonométrie  Calculer la longueur de l’hypoténuse Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

90 1. Avec 2 milieux a pour extrémités la moitié du 3ème côté.
P Si dans un triangle un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés alors il a pour longueur la moitié du 3ème côté.

91 de l'angle droit a pour longueur
2. Avec une médiane C A O B P Si un triangle est rectangle alors la médiane issue de l'angle droit a pour longueur la moitié de l'hypoténuse.

92 3. Avec un centre de gravité
2 3 A’ 1 3 A P Le centre de gravité est situé au 1/3 de chaque médiane à partir du milieu d’un côté.

93 G est situé aux de AA’ à partir de A
Centre de gravité Calculer GA’ et GA sachant que AA’ = 6 cm. G A’ 2 3 1 3 A 1 3 G est situé au de AA’ à partir de A’ 1 3 6 GA’ =  = 2 cm G est situé aux de AA’ à partir de A  2 3 GA =  6 = 4 cm

94 4. Avec la propriété de Thalès
M N C B Triangles "emboîtés" A M N C B Triangles "en papillon"

95 4. Avec la propriété de Thalès
M N C B A M N C B Si dans les triangles AMN et ABC : - A, M et B sont alignés - A, N et C sont alignés (MN) et (BC) sont parallèles. AN AC MN BC AM AB alors = =

96 4. Avec la propriété de Thalès
K J P R 7 cm 5 cm 4 cm (JK) // (RP). 3,5 cm Calculer JK et RS Dans les triangles SJK et SRP : - J, S et P sont alignés - K, S et R sont alignés - (JK) et (RP) sont parallèles. SJ SP SK SR JK RP alors = =

97 4. Avec la propriété de Thalès
K J P R 7 cm 5 cm 4 cm (JK) // (RP). 3,5 cm Calculer JK et RS SJ SP SK SR JK RP alors = = 5 7 4 SR JK 3,5 = soit encore =

98 4. Avec la propriété de Thalès
K J P R 7 cm 5 cm 4 cm (JK) // (RP). 3,5 cm Calculer JK et RS 5 7 4 SR JK 3,5 = = Calcul de JK : 5 3,5  JK 3,5 5 7 donc JK = = 7 JK = 2,5 cm

99 4. Avec la propriété de Thalès
K J P R 7 cm 5 cm 4 cm (JK) // (RP). 3,5 cm Calculer JK et RS 5 7 4 SR JK 3,5 = = Calcul de RS  : 4 7  4 SR 5 7 donc SR = = 5 SR = 5,6 cm

100 5. Avec le théorème de Pythagore
P65 Si ABC est un triangle rectangle en A alors AB² + AC² BC² = Hypoténuse : côté opposé à l'angle droit C Triangle rectangle en A B A BC² - AC² On a aussi AB² = et AC² = BC² - AB²

101 Calculer la longueur de l’hypoténuse

102 Calculer RT (valeur exacte et valeur arrondie à 1 mm près). R
4 cm 5 cm S Dans le triangle RST rectangle en S, d'après le théorème de Pythagore : RT = 41 cm RT² = ST² + SR² valeur exacte RT² = 4² + 5² 6,4 cm RT  RT² = 16 + 25 valeur arrondie à 1 mm près RT² = 41

103 d’un côté de l’angle droit
Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

104 Calculer JK (valeur exacte et valeur arrondie à 1 mm près).
Dans le triangle IJK rectangle en J, d'après le théorème de Pythagore : 4 cm I 6 cm K JK = 20 cm JK² = IK² - JI² valeur exacte JK² = 6² - 4² 4,5 cm JK  JK² = 36 - 16 valeur arrondie à 1 mm près JK² = 20

105 SOH CAH TOA P66 Dans le triangle ABC rectangle en A : C Hypoténuse Côté opposé à l'angle B A ABC Côté adjacent à l'angle SOH ABC côté opposé hypoténuse ABC sin =

106 SOH CAH TOA P66 Dans le triangle ABC rectangle en A : C Hypoténuse Côté opposé à l'angle B A ABC Côté adjacent à l'angle CAH ABC côté adjacent hypoténuse ABC cos = 6.

107 SOH CAH TOA P66 Dans le triangle ABC rectangle en A : C Hypoténuse Côté opposé à l'angle B A ABC Côté adjacent à l'angle TOA ABC côté opposé côté adjacent ABC tan =

108 SOH CAH TOA Pour tout angle aigu   : ABC 0 < sin < 1 ABC 0 < cos < 1 ABC 0 < tan ABC

109 Calculer la longueur de l’hypoténuse

110 T B U côté opposé l’hypoténuse SOH
Calculer BT (valeur exacte et valeur arrondie au dixième). T B U 6 cm 66° On connaît le côté opposé on cherche l’hypoténuse donc on utilise : SOH

111 T 6 cm B U 66° sin66° 6 BT UT BT sin = = 1 6 sin66° 6 1 valeur exacte
Dans le triangle BUT rectangle en U : sin66° 6 BT UT BT sin = = UBT 1 6 sin66° 6 1 valeur exacte cm BT= BT = sin66° mode degrés : DEG valeur arrondie au dixième BT  6,6 cm

112 d’un côté de l’angle droit
Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

113 E F D côté adjacent le côté opposé TAN
Calculer DE (valeur exacte et valeur arrondie au dixième). E F D 42° 5 cm On connaît le côté adjacent on cherche le côté opposé donc on utilise : TAN

114 E F D tan 42° DE 5 DE EF = 1 cm DE = 1 mode degrés : DEG DE  4,5 cm
Dans le triangle DEF rectangle en E : D tan 42° DE 5 DE EF tan = = EFD 1 5 tan 42° DE= 5 tan 42° cm DE = 1 valeur exacte mode degrés : DEG valeur arrondie au dixième DE  4,5 cm

115 Comment démontrer que deux angles ont la même mesure ?
1. Avec une bissectrice 2. Avec des angles opposés par le sommet 3. Avec des droites parallèles Alternes-internes Correspondants 4. Avec des triangles particuliers Isocèle Equilatéral 5. Avec un parallélogramme 6. Avec un polygone régulier 7. Avec un cercle 8. Avec une transformation

116 P67 La bissectrice d’un angle est la droite ou la demi-droite
1. Avec une bissectrice P67 La bissectrice d’un angle est la droite ou la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. x O y z

117 2. Avec des angles opposés par le sommet
P68 Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont égaux. O

118 des angles alternes-internes
3. Avec des droites parallèles P69 Si deux droites parallèles et une sécante forment des angles alternes-internes alors ils sont égaux. d d'  //

119 des angles correspondants
3. Avec des droites parallèles P70 Si deux droites parallèles et une sécante forment des angles correspondants alors ils sont égaux.  d // d'

120 4. Avec des triangles particuliers
P71 Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont égaux. Base

121 4. Avec des triangles particuliers P72 Si un triangle est équilatéral
alors ses trois angles sont égaux à 60°.

122 5. Avec un parallélogramme
P73 Si un quadrilatère est un parallélogramme (un rectangle, un losange ou un carré) alors ses angles opposés sont égaux.

123 6. Avec un polygone régulier
P74 Si un polygone à n côtés est régulier alors tous ses angles au centre sont égaux à 360° n 360° n

124 interceptent le même arc de cercle
7. Avec un cercle P75 Si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle alors ils sont égaux. Arc de cercle

125 8. Avec une transformation
P76 L’image d’un angle par une transformation (symétrie axiale ou centrale, translation, rotation) est un angle de même mesure. O  (symétrie centrale)

126 Comment calculer la mesure d’un angle ?
1. Avec une bissectrice 2. Dans un triangle 3a. Avec des angles complémentaires 3b. Avec des angles supplémentaires 4. Dans un polygone régulier 5. Dans un cercle 6. Avec la trigonométrie :

127 est la bissectrice d’un angle
1. Avec une bissectrice P77 Si une droite ou une demi-droite est la bissectrice d’un angle alors elle partage cet angle en deux angles égaux. x O y z xOy 2 xOz = yOz =

128 P78 La somme des angles d’un
2. Dans un triangle P78 La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. A B C ABC + ACB + BAC = 180°

129 3. Avec des angles complémentaires
P79 Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme est égale à 90°. + 90°

130 3. Avec des angles supplémentaires
P80 Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme est égale à 180°. 180° +

131 4. Dans un polygone régulier
P81 Si un polygone à n côtés est régulier alors tous ses angles au centre sont égaux à 360° n 360° n

132 5. Dans un cercle P82 Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle alors l’angle inscrit est égal à la moitié l’angle au centre. M O A B Arc de cercle

133 6. Avec la trigonométrie :
SOHCAHTOA (rappel P66 p. 46) Exemple : Calculer ASC à 1° près. On connaît le côté adjacent et l’hypoténuse donc on utilise : CAH A C ? 5 cm 9 cm S

134 A S C ? 5 cm 9 cm Dans le triangle SAC rectangle en C : SC SA cos ASC = 5 9 Cosinus de l’angle Nombre entre 0 et 1 cos ASC = Angle aigu entre 0° et 90° ASC  56° à 1° près.

135 Comment construire l’image d’une figure par une transformation ?
1. Par une symétrie axiale 2. Par une symétrie centrale 3. Par une translation 4. Par une rotation 5. Par une composée de 2 symétries centrales 6. Par une composée de 2 translations

136 1. Par une symétrie axiale
d Construire l’image du drapeau vert par la symétrie d’axe d.

137 1. Par une symétrie axiale
d Avec les lignes horizontales et verticales : 4 carreaux vers la droite jusqu’à d puis 4 carreaux vers le bas.

138 2. Par une symétrie centrale

139 3. Par une translation

140 4. Par une rotation

141 5. Par une composée de 2 symétries
centrales

142 6. Par une composée de 2 translations

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