Les triangles semblables

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1 Les triangles semblables

2 Les triangles semblables
2 triangles sont semblables lorsque: Ils ont les mêmes angles. Leurs côtés correspondants sont dans un même rapport.

3 Les triangles semblables
Des triangles sont semblables lorsqu’un des 3 cas est respecté:

4 Les triangles semblables
1er cas: Deux triangles ABC et A’B’C’ ayant deux angles correspondants sont semblables.

5 Les triangles semblables
1er cas: démonstration

6 Les triangles semblables
Hypothèses: 1) Angle A = Angle A’ 2) Angle B = Angle B’ Thèses: 1) Angle C = Angle C’ 2) |AB|/|A’B’| =|AC|/|A’C’| =|BC|/|B’C’|

7 Les triangles semblables
Démo: 1) Construire E sur [AC]

8 Les triangles semblables
2) Construire DE//BC, on obtient un triangle ADE isométrique au triangle A’B’C’

9 Les triangles semblables
|AE| = |A’C’| |AD| = |A’B’| |ED| = |C’B’| Or, par le théorème de Thalès et ses conséquences: |AB|/|AD| = |BC|/|DE| = |AC|/|AE| On peut donc remplacer les dénominateurs et nous obtenons: |AB|/|A’B’| = |AC|/|A’C’| = |BC|/|B’C’| (thèse)

10 Les triangles semblables
2ème cas: Deux triangles ABC et A’B’C’ ayant les côtés correspondants proportionnels sont semblables.

11 Les triangles semblables
2ème cas: démonstration

12 Les triangles semblables
Hypothèse: |AB|/|A’B’| = |AC|/|A’C’| = |BC|/|B’C’| = r Thèses: Angle A = Angle A’ Angle B = Angle B’ Angle C = Angle C’

13 Les triangles semblables
Démo: Construire D sur [AB], on obtient |AD|=|A’B’|

14 Les triangles semblables
- DE//BC donc par le théorème de Thalès et ses conséquences: |AC|/|AE| = r |BC|/|DE| = r Les triangles A’B’C’ et AXY sont isométriques donc: Angle A = Angle A’ Angle B = Angle B’ Angle C = Angle C’ (thèse)

15 Les triangles semblables
3ème cas: Deux triangles ABC et A’B’C’ ayant un angle de même amplitude bordé par deux côtés correspondants proportionnels sont semblables.

16 Les triangles semblables
3ème cas: démonstration

17 Les triangles semblables
Hypothèses: Angle A = Angle A’ |AB|/|A’B’| = |AC|/|A’C’| = r Thèses: Angle B = Angle B’ Angle C = Angle C’ |BC|/|B’C’| = r

18 Les triangles semblables
Démo: Construire D sur [AB], on obtient: |AD| = |A’B’| |AE| = |A’C’|

19 Les triangles semblables
- Par la réciproque du théorème de Thalès, XY//BC car |AB|/|AD| = |AC|/|AE| = r - On a donc: Angle D = Angle B Angle E = Angle C - Les triangles A’B’C’ et AXY sont isométriques: Angle B = Angle B’ Angle C = Angle C’ |BC|/|B’C’| = |BC|/|DE| = |AB|/|AD| = |AC|/|AE| = r (thèse)