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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Droites et plans, positions relatives Droites et plans, positions relatives.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Droites et plans, positions relatives Droites et plans, positions relatives

2 Introduction Des droites et des plans dans l’espace peuvent être parallèles, concourants ou gauches. C’est ce qu’on appelle les positions relatives des droites et des plans. Nous verrons dans cette présentation les procédures pour déterminer les positions relatives de droites dans R 2 ainsi que de droites et de plans dans R 3.

3 Positions relatives de droites dans R 2 Droites parallèles Caractéristiques des droites parallèles Les vecteurs normaux sont parallèles : Les vecteurs directeurs sont parallèles : Le vecteur normal de l’une des droites est perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite :  k  R tel que  k  R tel que N 1 = k N 2 D 1 = k D 2 et N 1 D 2 = 0 D 1 N 2 = 0

4 Positions relatives de droites dans R 2 Droites parallèles Caractéristiques des droites parallèles distinctes Lorsqu’un point R(x 1 ; y 1 ) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : Il n’y a aucun point d’intersection. Lorsqu’un point R(x 1 ; y 1 ) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite : Il y a une infinité de points d’intersection. Caractéristiques des droites parallèles confondues si R  ∆ , alors R  ∆ 2 si R  ∆ , alors R  ∆ 2

5 Positions relatives de droites dans R 2 Droites concourantes Caractéristiques des droites concourantes Les droites ne sont pas parallèles. Les vecteurs directeurs sont non colinéaires : Le vecteur normal de l’une des droites n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite :  k  R\{0}, N 1 ≠ k N 2 D 1 ≠ k D 2 et D 1 N 2 ≠ 0 N 1 D 2 ≠ 0 Les vecteurs normaux sont non colinéaires : Il y a un seul point d’intersection.

6 N1 D2 N1 D2 Exemple Déterminer la position relative des droites ∆ 1 et ∆ 2, où : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal ∆ 1 : 2x – 3y + 16 = 0 et ∆ 2 : x = 2 + 3t y = 4 + 2t SS = (2; –3) (3; 2) = 6 – 6 = 0. Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur N 1 = (2; –3). D 2 = (3; 2). Le produit scalaire donne : Par conséquent, les vecteurs sont perpendiculaires et les droites sont parallèles. Pour déterminer si les droites sont distinctes ou confondues, il suffit de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier s’il est sur l’autre droite. En posant, par exemple, x = 1 dans l’équation de ∆ 1, on obtient 2 – 3y + 16 = 0, d’où –3y = –18 et y = 6. Le point P 1 (1; 6) est donc un point de ∆ 1. En substituant les coordonnées de ce point dans les équations de la droite ∆ 2, on obtient : 1 = 2 + 3t, d’où : t = –1/3 6 = 4 + 2t, d’où : t = 1 Ces égalités contradictoires indiquent que le point (1; 6) n’est pas sur la droite ∆ 2. Les droites sont donc parallèles distinctes.

7 N1 D2 N1 D2 Exercice Déterminer la position relative des droites ∆ 1 et ∆ 2, où : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal ∆ 1 : 4x + 3y – 24 = 0 et ∆ 2 : x = –3 + 3t y = 12 – 4t SS = (4; 3) (3; –4) = 12 – 12 = 0. Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur N 1 = (4; 3). D 2 = (3; –4). Le produit scalaire donne : Par conséquent, les vecteurs sont perpendiculaires et les droites sont parallèles. Pour déterminer si les droites sont distinctes ou confondues, il suffit de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier s’il est sur l’autre droite. En posant, par exemple, x = 3 dans l’équation de ∆ 1, on obtient y – 24 = 0, d’où 3y = 12 et y = 4. Le point P 1 (3; 4) est donc un point de ∆ 1. En substituant les coordonnées de ce point dans l’équation de la droite ∆ 2, on obtient : Ces égalités indiquent que le point (3; 4) est sur la droite ∆ 2. Par conséquent, les droites sont parallèles confondues. 3 = –3 + 3t, d’où : t = 2 4 = 12 – 4t, d’où : t = 2

8 Exemple Déterminer la position relative des droites ∆ 1 et ∆ 2, où : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal ∆ 1 : 4x – y – 11 = 0 et ∆ 2 : x = 7 + 5t y = 1 + 4t SS = (4; –1) (5; 4) = 20 – 4 = 16 ≠ 0. Les coefficients du paramètre dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur N 1 = (4; –1). D 2 = (5; 4). Le produit scalaire donne : N1 D2 N1 D2 Par conséquent, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et les droites sont concourantes. Pour déterminer le point de rencontre des droites, on peut substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela donne : 4(7 + 5t) – (1 + 4t) 4t) – 11 = t – 1 – 4t – 11 = 0 16t + 16 = 0 t = –1 En substituant dans les équations paramétriques, on trouve : Le point de rencontre des deux droites est donc (2; –3). x =  (–1) = 2 y =  = –3

9 Exercice Déterminer la position relative des droites ∆1 ∆1 et ∆ 2, où : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal ∆1 ∆1 : 7x 7x + 3y 3y – 26 = 0 et ∆ 2 : x = 9 + 2t2t y = 3 + 3t3t SS = (7; 3) (2; 3) = = 23 ≠ 0. Les coefficients du paramètre dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur N 1 = (7; 3). D 2 = (2; 3). Le produit scalaire donne : N1 D2 N1 D2 Par conséquent, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et les droites sont concourantes. Pour déterminer le point de rencontre des droites, on peut substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela donne : 7(9 + 2t) + 3(3 + 3t) 3t) – 26 = t t – 26 = 0 23t + 46 = 0 t = –2 En substituant dans les équations paramétriques, on trouve : Le point de rencontre des deux droites est donc (5; –3). x =  (–2) = 5 y =  = –3

10 La droite dans R 3, intersection de plans On peut décrire une droite dans l’espace en donnant les équations de deux plans concourants. Cependant, si on veut connaître un point et un vecteur directeur, il est plus simple de résoudre le système d’équations linéaires formé de ces deux équations. Comme il y a deux équations pour trois inconnues, on a une variable libre que l’on représente par un paramètre pour obtenir les équations paramétriques de la droite d’intersection; on a alors la description en fonction d’un de ses points et d’un vecteur directeur. Pour connaître un vecteur directeur de la droite, on peut alors effectuer le produit vectoriel des vecteurs normaux à ces plans.

11 Exemple Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans : ∏ 1 : x – 2y + 3z = 5 et ∏ 2 : 2x – 3y + 5z = 8 On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est : {(x; y; z) | x = 1 – t, y = –2 + t, z = t}t} Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors : SS 1–23 2–35 L1L1 ≈ L 2 – 2L –23 01–1 5 –2 L 1 + 2L 2 ≈ L2L –1 1 –2 Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques : ∆ : x = 1 – t y = –2 + t z = t On peut conclure que la droite passe par le point R(1; –2; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur = (–1; 1; 1). D

12 Exercice Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans : ∏ 1 : x + 3y – 12z – 28 = 0 et ∏ 2 : 3x + 10y – 41z – 92 = 0 On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est : {(x; y; z) | x = 4 – 3t, y = 8 + 5t, z = t}t} Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors : SS 13–12 310–41 L1L1 ≈ L 2 – 3L –12 01– L 1 – 3L 2 ≈ L2L –5 4 8 Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques : ∆ : x = 4 – 3t3t y = 8 + 5t5t z = t On peut conclure que la droite passe par le point R(4; 8; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur = (–3; 5; 1). D

13 Positions relatives de droites dans R 3 Droites parallèles Caractéristique des droites parallèles Les vecteurs directeurs sont parallèles :  k  R tel que D 1 = k D 2 Caractéristiques des droites parallèles distinctes Lorsqu’un point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : Il n’y a aucun point d’intersection. Lorsqu’un point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite : Les droites ont une infinité de points d’intersection. Caractéristiques des droites parallèles confondues si P  ∆ , alors P  ∆ 2 si P  ∆ , alors P  ∆ 2

14 Positions relatives de droites dans R 3 Droites non parallèles Caractéristique des droites non parallèles Les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles :  k  R, D 1 ≠ k D 2 Les droites ont un et un seul point d’intersection. Lorsqu’un point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : Les droites n’ont aucun point d’inter- section. Caractéristiques des droites gauches si P  ∆ , alors P  ∆2∆2 Caractéristique des droites concourantes

15 Exemple a Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Ils sont parallèles, puisque : 2 Les vecteurs directeurs sont : SS x = 8 + 6t y = 12 – 4t z = 7 + 2t = (3; –2; 1) et D1 D1 ∆1 :∆1 :et ∆ 2 : = (6; –4; 2). D2 D2 D1 D1 = D2 D2 Les droites sont donc parallèles et, si elles ont un point commun, elles sont confondues. Vérifions si elles ont un point commun. En posant t = 0 dans les équations de ∆ 2, on a le point P(8; 12; 7). En substituant ces coordonnées dans les équations de ∆ 1. On obtient : Ce système d’équations n’a pas de solution. Par conséquent, les droites sont parallèles distinctes. x = 2 + 3s y = –4 – 2s z = 5 + s 8 = 2 + 3s 12 = –4 – 2s 7 = 5+s

16 Exemple b Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout scalaire k, k Les vecteurs directeurs sont : SS x = 5 – t y = –2 + 2t z = –2 – 3t = (3; –2; 1) et D1 D1 et ∆ 2 : = (–1; 2; –3). D2 D2 D1 D1 ≠ D2 D2 Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Vérifions si elles ont un point commun, c’est-à-dire un point qui satisfait aux équations des deux droites, soit : En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : ∆1 :∆1 : x = 2 + 3s y = –4 – 2s z = 5 + s 2 + 3s = 5 – t –4 – 2s = –2 + 2t 5 + s = –2 – 3t d’où 3s + t = 3 – 2s –2t = 2 s + 3t = –7 1 –2 L3L3 ≈ L1L –7 L2L L1L1 ≈ L2 L2 – 3L 1 –7 3 –2 2 L 3 + 2L – –8 –12 L1L1 ≈ L2 L2 /(–8) 2L 3 + L2L –7 – L 1 – 3L 2 ≈ L2L2 L3L – On trouve donc s = 2 et t = –3. En substituant dans les équations des droites, on obtient que celles-ci se rencontrent au point (8;–8; 7).

17 Exemple c Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout scalaire k, k Les vecteurs directeurs sont : SS = (–2; 1; 4) et D1 D1 = (–1; 2; 3). D2 D2 D1 D1 ≠ D2. D2. Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun. En comparant les équations paramétriques, on a : On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution. S x = 5 – t y = –2 + 2t z = –2 + 3t ∆1 ∆1 :et ∆2 ∆2 : x = 3 – 2s y = –4 + s z = –3 + 4s 3 – 2s = 5 – t –4 + s = –2 + 2t –3 + 4s = –2 + 3t, d’où : –2s + t = 2 s – 2t = 2 4s – 3t = 1 En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : 1 1–2 L1L1 ≈ 2L 2 + L1L –32 L 3 + 2L 1 –2 1 0 L1L1 ≈ L 2 /(–3) 2 6 0–15 3L 3 – L2L2 –2 –3 – S Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les droites n’ont pas de point de rencontre. Puisque les droites ne sont ni parallèles ni concourantes, ce sont donc des droites gauches.

18 Exercice Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout k scalaire, k Les vecteurs directeurs sont : SS = (2; 4; –3) et D1 D1 = (–3; 5; 2). D2 D2 D1 D1 ≠ D2. D2. Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun. En comparant les équations paramétriques, on a : On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution. S x = 12 – 3t y = –17 + 5t z = –1 + 2t ∆1 ∆1 : et ∆2 ∆2 : x = 7 + 2s y = 6 + 4s z = –1 – 3s 7 + 2s = 12 – 3t 6 + 4s = –17 + 5t –1 – 3s = –1 + 2t, d’où : 2s + 3t = 5 4s – 5t = –23 –3s – 2t = 0 En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : 3 4–5 L1L1 ≈ L 2 – 2L 1 5 –23 –3–20 2L 3 + 3L L1L1 ≈ L 2 /(–11) 5 – L 3 /5 2 – S 1 L 1 – 3L 2 ≈ L2L2 L 3 – L2L – On trouve s = – 2 et t = 3. En substituant ces valeurs dans les équations paramétriques de ∆ 1 et de ∆ 2, on trouve (3; –2; 5). C’est le point de rencontre des deux droites.

19 Positions relatives d’une droite et d’un plan s Droite et plan parallèles Caractéristiques Le vecteur normal au plan est perpendicu- laire au vecteur directeur de la droite : N ∏ D ∆ Lorsqu’un point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur la droite, il est également dans le plan : Lorsqu’un point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur la droite, il n’est pas dans le plan : si P  ∆, alors P  ∏ Droite contenue dans le plan Droite non contenue dans le plan si P  ∆, alors P  ∏ = 0

20 Positions relatives d’une droite et d’un plan Droite et plan concourants Caractéristiques Le vecteur normal du plan n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de la droite : Il existe un seul point commun à la droite et au plan : Il existe un et un seul point P tel que : P  ∆ et P  ∏ N ∏ D ∆ ≠ 0

21 Exemple Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. Le produit scalaire donne : Le vecteur directeur de ∆ est : SS x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t = (–3; 7; –2). D∆ D∆ ∏ : 2x + 3y + 4z + 9 = 0 et ∆ : = (2; 3; 4). N∏ N∏ D∆ D∆ N∏ N∏ Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants. Le vecteur normal à ∏ est : = (–3; 7; –2) (2; 3; 4) = – – 8 = 7 ≠ 0. Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient : 2(2 – 3t) + 3(–5 + 7t) + 4(–3 – 2t) + 9 = 0 4 – 6t 6t – t – 12 – 8t + 9 = 0 7t – 14 = 0 t = 2 Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne : x = 2 – 3  2 = –4 y = –5 + 7  2 = 9 z = –3 – 2  2 = –7 La droite et le plan se rencontrent au point (–4; 9; –7). S

22 Exercice Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. Le produit scalaire donne : Le vecteur directeur de ∆ est : SS x = t y = –2 – 3t z = –7 – 4t = (2; –3; –4). D∆ D∆ ∏ : x – 2y + 5z – 15 = 0 et ∆ : = (1; –2; 5). N∏ N∏ D∆ D∆ N∏ N∏ Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants. Le vecteur normal à ∏ est : = (2; –3; –4) (1; –2; 5) = – 20 = 12 ≠ 0. Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient : (10 + 2t) – 2( –2 – 3t) + 5(–7 – 4t) – 15 = t 2t t 6t – 35 – 20t – 15 = 0 –12t – 36 = 0 t = –3 Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne : x =  (–3) = 4 y = –2 – 3  (–3) = 7 z = –7 – 4  (–3) = 5 La droite et le plan se rencontrent au point (4; 7; 5). S

23 Exemple Les vecteurs perpendicu- laires à ∆ sont : Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. Le produit mixte de ces vecteurs donne : SS ∏ : 2x – 3y + 4z – 32 = 0 et ∆ : x – 5y + 3z – 28 = 0 et 4x – y – 3z + 1 = 0. = (2; –3; 4). N∏ N∏ Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants. Le vecteur normal à ∏ est : = 36 – = 67 ≠ 0. –3 1– –1–3 2 = (1; –5; 3) et N∆1 N∆1 = (4; –1; –3). N∆2 N∆2 = 2  (15 + 3) – (–3)  (–3 – 12) + 4  (–1 + 20) Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient : 1 –3 –5 L1L1 ≈ 2L 2 – L1L –1–3 L 3 – 2L –1 La droite et le plan se rencontrent au point (3; –2; 5). 0 – – –65 –7 L1L1 ≈ L2L2 7L 3 + 5L 2 0 – – –335 –7 La dernière ligne donne z = 5 et par substitution, on trouve y = –2 et x = 3.

24 Exercice Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. Le produit mixte de ces vecteurs donne : SS ∏ : 2x + y – 3z + 16 = 0 et Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants. = 32 – 10 – 21 = 1 ≠ –3 – ∆ : 4x + 5y – 2z + 19 = 0 et x + 3y + 2z – 4 = 0. Les vecteurs perpendicu- laires à ∆ sont : = (2; 1; –3). N∏ N∏ Le vecteur normal à ∏ est : = (4; 5; –2) et N∆1 N∆1 = (1; 3; 2). N∆2 N∆2 = 2  (10 + 6) – 1  (8 + 2) + (–3)  (12 – 5) Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient : L1L1 ≈ L 2 – 2L 1 –3 – L 3 – L1L1 2–16 – – – L1L1 ≈ L2L2 3L 3 – 5L 2 0 1– – La droite et le plan se rencontrent au point (5; –5; 7). La dernière ligne donne z = 7 et par substitution, on trouve y = –5 et x = 5.

25 Positions relatives de plans dans R 3 Plans parallèles Caractéristiques des plans parallèles Les vecteurs normaux sont parallèles :  k  R tel que N 1 = k N 2 Caractéristiques des plans parallèles distincts Lorsqu’un point R(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur l’un des plans, il ne peut être sur l’autre plan : Il n’y a aucun point d’intersection. Lorsqu’un point R(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur l’un des plans, il est sur l’autre plan : Les plans ont une infinité de points d’intersection. Caractéristiques des plans parallèles confondus si R  ∏ , alors R  ∏ 2 si R  ∏ , alors R  ∏ 2

26 Positions relatives de plans dans R 3 Plans non parallèles Caractéristiques des plan non parallèles L’intersection des deux plans (∏ 1  ∏ 2 ) est une droite ∆. On dit que les plans sont concourants ou sécants.  k  R, N 1 ≠ k N 2 Les vecteurs normaux ne sont pas parallèles :

27 Exemple Déterminer la position relative des plans suivants : ∏ 1 : x + 2y + 2z = 4 SS Il ne reste que deux équations où z est une variable libre. En posant z = t, on trouve comme solution générale : Cet ensemble représente une droite qui passe par le point (2; 1; 0) et dont {(x; y; y; z)| x = 2, y = 1 – t, t, z = t}t} Les plans ne sont pas parallèles, puisque leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. En résolvant le système formé de ces deux équations à l’aide d’une matrice, on a : ≈ L1L1 L 2 – 2 L –1 ≈ –L 2 L L = (0; –1; 1) est un vecteur directeur. Les deux plans sont sécants et leur intersection est une droite. D1D1 ∏ 2 : 2x + 3y + 3z = 7

28 –10 Exemple Trouver l’intersection des plans suivants : En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a : ∏ 1 : x + 3y – 2z = 10 SS Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; 1; –2). 13–210 2–45–8≈ L1L1 L 2 – 2L 1 ≈ L2L2 10L 1 + 3L 2 3–124 L 3 – 3L 1 13–210 09–28 08–26 L 3 – L –109–28 00–12 ≈ L 2 + 9L 3 L 1 + 7L 3 L3L –100 00–12 ≈ L 2 /(–10) L 1 /10 L 3 /(–1) –2 ∏ 2 : 2x – 4y + 5z = –8 ∏ 3 : 3x – y + 2z = 4

29 –11 Exercice Trouver l’intersection des plans suivants : En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a : ∏ 1 : x + 3y – 2z = –10 SS Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; –1; 5). 1 3–2–10 3–2431≈ L1L1 L 2 – 3L 1 ≈ L2L2 11L 1 + 3L L 3 – 5L 1 13–2– L 3 – L –10– ≈ L L 3 L 1 – 8L 3 L3L – ≈ L 2 /11 L 1 /11 L3L – ∏ 2 : 3x – 2y + 4z = 31 ∏ 3 : 5x + 4y + z = 16

30 Positions relatives et systèmes d’équations Solution unique SS Lorsqu’il reste autant d’équations que d’inconnues après avoir éche- lonné, on a une solution unique. Les trois plans se rencontrent alors en un même point. abcd 0efg 00hi, où h ≠ 0. Infinité de solutions Lorsqu’il reste moins d’équations que d’inconnues après avoir éche- lonné, on a une infinité de solutions. Les trois plans ont une droite comme intersection. Ils peuvent également être confondus s’il reste une équation pour trois inconnues. abcd 0efg 0000 abcd 0efg 000i Aucune solution Lorsque la matrice échelonnée com- porte une équation impossible, le système n’a aucune solution., où i ≠ 0. Deux des plans peuvent être parallèles distincts. Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes. La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues.

31 Conclusion À l’aide des vecteurs et des système d’équations, on peut déterminer algébriquement les positions relatives de droites dans R2 R2 ainsi que de droites et de plans dans R3.R3.

32 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 340 à 354.


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